Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 154
couple aléatoire, de lois marginales F X et F Y , de fonction de répartition (jointe) F XY
de copule C. Siy ↦→ P (X ≤ x|Y = y) est continue à droite, alors
et
P (X ≤ x|Y = y)
= lim
h→0
P (X ≤ x|y ≤ Y < y + h)
= lim
h→0
F XY (x, y + h) − F XY (x, y)
F Y (y + h) − F Y (y)
C (F X (x) , F Y (y + h)) − C (F X (x) , F Y (y))
= lim
h→0 F Y (y + h) − F Y (y)
C (F X (x) , F Y (y) + ϕ (y, h)) − C (F X (x) , F Y (y))
= lim
h→0 ϕ (y, h)
où ϕ (y, h) = F Y (y + h) − F Y (y) → 0 pour tout y, lorsque h → 0, étant donné que F Y
est continue. Aussi,
P (X ≤ x|Y = y) = ∂C
∂v (F X (x) , F Y (y)) . (27)
Si U = (U 1 , .., U d ) admet pour fonction de répartition C, alors l’algorithme suivant
permet de générer un tel vecteur
• simuler U 1 uniformément sur [0, 1],
u 1 ← Random 1 ,
• simuler U 2 from the conditional distribution ∂ 2 C(·|u 1 ),
u 2 ← [∂ 1 C(·|u 1 )] −1 (Random 2 ),
• simuler U k from the conditional distribution ∂ k C(·|u 1 , ..., u k−1 ),
u k ← [∂ 1 ...∂ k−1 C(·|u 1 , ..., u k−1 )] −1 (Random k ),
...etc, où les Random i ’ sont des appels indépendants de la fonction Random.
Exemple 89. Pour simuler la copule de Clayton C(u, v) = (u −θ + v −θ − 1) −1/θ , on tire
U et W avec deux appels indépendants de la fonction Random, et on pose
V = ( W −θ/(θ+1) × u −θ − u −θ + 1 ) −1/θ
.
Exemple
(
90. Pour simuler
)
la copule de Frank, C(u, v) =
1
θ log 1 + (e−θu − 1)(e −θv − 1)
, on tire U et W avec deux appels indépendants de
(e −θ − 1)
la fonction Random, et on pose
V = 1 ( (
) )
(e −θ
θ log − 1) 3 e −θu
+ 1
e −θU − 1 (e −θU − 1) × W
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance