MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 118 Nous avons vu dans l’exemple limite où σ → 0 qu’il était souhaitable qu’un schéma de disrétisation ait des coefficients a i,j , b i,j et c i,j positifs, u i,j+1 = [1 − (α i + β i + r)∆t] u } {{ } i,j + α i ∆t } {{ } u i−1,j c i,j a i,j + β i ∆t }{{} b i,j u i+1,j . Cette condition de positivité est en fait nécessaire pour assurer la stabilité de l’algorithme. Une condition nécessaire pour assurer la positivité des coefficients est d’avoir α i ≥ 0 et β i ≥ 0 pour i = 1, ..., n. Pour corriger et assurer la positivité des coefficients, on peut utiliser une méthode de décentrage (upstream weighting). L’idée du recentrage dans les méthodes de différences finies et de poser α décentré i = α forward i et β décentré i = β forward i si αi forward , βi forward ≥ 0, et α décentré i = α backward i et β décentré i = β backward i sinon. Ce mécanisme assure la positivité des coefficients α et β. On peut alors accélérer la convergence en considérant comme poids α = i α centré i et β = i β centré i si αi centré , βi centré ≥ 0, et α i = α décentré i et β i = β décentré i sinon. L’intérêt de cette méthode est en particulier important si σ est faible. En effet, αi centré 0 si σ 2 ≥ r[S i − S i−1 ]/S i pour tout i = 1, ..., n, soit σ 2 ≥ rh/S i . Remarque 73. En fait, cette méthode de décentrage devient essentielle pour des diffusions plus complexes, en particulier si elles font intervenir un retour à la moyenne. Dans le schéma centré de Crank-Nicolson, cette condition nécessaire n’est toutefois pas suffisante, et il est possible d’obtenir une divergence (et oscillations). 10.16 Autres formes de payoff, et conditions de bord Considérons, au lieu d’un call européen classique le cas d’un call digital. La convergence est relativement lente. La raison étant la discontinuité de la fonction de payoff (fonction indicatrice), une idée peut être d’approcher le payoff par une fonction C ∞ aussi proche qu’on le souhaite (Rannacher (1984)). Au lieu de considérer comme payoff x ↦→ 1(x > 0), on considère g h (x) = 1 ( ( x 1 + tanh , 2 h)) qui converge vers la fonction indicatrice lorsque h → 0. ≥ Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 119 Résolution de l’équation de la chaleur, cas option digitale Prix d’un call digital par équations aux dérivées partielles Prix du call digital 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 Prix du sous−jacent Prix d’un call digital par équations aux dérivées partielles Prix du call digital 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 Prix du sous−jacent Figure 62: Valorisation d’un call digital, m = 100, 250. Prix d’un call digital par équations aux dérivées partielles Convergence du prix d’un call digital (non lissé) Prix du call digital 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Prix du call digital 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0 50 100 150 200 Prix du sous−jacent 0 200 400 600 800 1000 Nombre de subdivisions en espace Figure 63: Valorisation d’un call digital, m = 1000. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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