Méthodes numériques en finance

4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION DES PARAMÈTRES 29
Rho d’un call (Black & Scholes)
Rho d’un call (Black & Scholes)
−50 −40 −30 −20 −10 0
−50 −40 −30 −20 −10 0
60 80 100 120 140
Cours de l’action
60 80 100 120 140
Cours de l’action
Figure 14: Rho dans le modèle de Black & Scholes (influence de r et σ ).
• la calibration, où on cherche à obtenir directement, à partir de données de marchés
(de prix d’options) la probabilité risque neutre Q.
4.1 Estimation de paramètres univariés
Dans l’approche “classique”, les variables d’intérêt sont généralement la moyenne et l’écarttype.
4.2 Calcul de variances empiriques
Rappelons que la variance empirique d’un échantillon {X 1 , ..., X n } est
⎛ ( ) ⎞
SX 2 = 1
2 n∑
⎝ Xi 2 1
n∑
− X i
⎠
n − 1
n
i=1
L’algorithme qui consiste à calculer dans une boucle U = U + X i et V = V + Xi
2 peut
s’avérer instable si les X i prennent de grandes valeurs. La variance empirique est alors
SX 2 = (V − U 2 /n)/(n − 1).
Une alternative peut être de calculer dans un premier temps la moyenne X, puis de
calculer dans une boucle V = V + (X i − X) 2 . La variance empirique est alors SX 2 =
V/(n − 1).
Une autre méthode est basée sur une mise à jour, observation par observation. On
pose alors U 1 = X 1 et V 1 = 0 afin d’initialiser l’algorithme. Puis, dans une boucle, on
pose
V i = V i−1 + i − 1 (X i − U i−1 ) 2 et U i = U i−1 + 1 i
i (X i − U i−1 ),
i=1
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance