Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 125
10.23 Pour aller plus loin sur l’utilisation des e.d.p.
Nous avons vu que trouver le prix d’un call ou d’un put dans le modèle de Black &
Scholes (1973) se ramenait à résoudre une équation parabolique de la chaleur, de la
forme
∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t)
= ,
∂x 2 ∂t
pour lesquelles des méthodes simple d’éléments finis permettent d’obtenir facilement et
rapidement un prix.
Toutefois, dans certains cas, l’équation dégène en un cas limite, celui des équations
hyperboliques,
En particulier,
∂u(x, t)
∂x
= ±
• dans les modèles à volatilité stochastique,
• dans les modèles de retour à la moyenne.
∂u(x, t)
.
∂t
De plus, un autre problème peut se poser pour certaines options (avec volatilité incertaine,
ou les options passport): l’équation aux dérivées partielles devient nonlinéaire, et
la solution peut ne pas être unique.
L’absence d’unicité de la solution est toujours génante d’un point de vue financier, et
on introduit alors la notion de solution de viscosité.
10.24 Cas des processus à sauts, et valorisation par e.d.p.
Supposons maintenant que le processus de diffusion sous-jacent n’est plus simplement un
mouvement brownien géométrique, mais qu’il y ait en plus un processus à sauts,
dS t
S t
= νdt + σdW t +(η − 1)dq t ,
où dq t est un processus de Poisson homogène, de paramètre λ, et où η − 1 correspond
à l’amplitude du saut (faisant passer de S t à ηS t s’il y a un saut en t). On note f η ( la
densité de la taille des sauts.
Exemple 75. Si la taille des sauts augmente d’un facteur suivant une loi lognormale
)
1 (log x − µ)2
f η (x) = √ exp
(− .
2πγx 2γ 2
Il est alors possible de montrer que le prix d’un produit contingent vérifie une équation
intégro-différentielle de la forme
∂g(x, t)
∂t
où, pour ici, en notant κ = E(η − 1),
Ag(x, t) = σ2 x 2
2
+ Ag(x, t)+λ
∫ ∞
0
g(xz)f η (z)dz = 0, (23)
∂ 2 g(x, t)
∂g(x, t)
+ (r−λκ)x − (r+λ)g(x, t),
∂x 2 ∂x
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance