Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 150
Densité d’un processus d’Ornstein−Uhlenbeck
Processus d’Ornstein−Uhlenbeck
0.00 0.05 0.10
0 2 4 6 8 10
Temps
Figure 91: Processus d’Ornstein-Uhlenbeck.
11.7 Simulation d’un processus à saut, le processus de Poisson
Un processus de Poisson (N t ) t≥0 d’intensité λ est un processus de comptage, tel que
• N 0 = 0,
• (N t ) t≥0 est à accroissements indépendants,
• N t+h − N t suit un loi de Poisson de paramètre λh
Si on définie les durées entre les sauts, (X n ) n∈N , et la date d’arrivée du nième saut
T n = X 1 + ... + X n , on peut montrer simplement que les durées entre sauts (X n ) sont
indépendantes, et suivent des loi exponentielle de paramètre 1/λ. Aussi, T n suit un loi
Gamma de paramètres n et 1/λ.
En changeant la hauteur des sauts, et en la prenant aléatoire, on peut ainsi simuler
un processus de Poisson composé. En en combinant à ce processus à saut une diffusion
brownienne, on peut alors simuler un processus de Lévy.
11.8 Simulation pour options path-dependent, première approche
Considérons le cas d’une option à barrière up and out.
Goldman, M.B., Sosin, H.B. & Gatto, M.A. (1979). Path Dependent Options:
“Buy at the Low, Sell at the High” . The Journal of Finance, 34, 1111-1127.
Un second example où il est possible de visualiser l’impact de la méthode retenue pour
discrétiser le processus est celui d’options lookback. En particulier (Goldman, Sosin &
Gatto (1979)) l’algorithme suivant permet de valoriser un call européen, dont le payoff
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance