Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 121
Impact des bornes de prix [0,3K]
Impact des bornes de prix [0,4K]
Prix du call européen
0 50 100 150
Prix du call européen
0 50 100 150
0 50 100 150 200
Prix du sous−jacent
0 50 100 150 200
Prix du sous−jacent
Impact des bornes de prix [0,6K]
Impact des bornes de prix [0,8K]
Prix du call européen
0 50 100 150
Prix du call européen
0 50 100 150
0 50 100 150 200
Prix du sous−jacent
0 50 100 150 200
Prix du sous−jacent
Figure 65: Impact des bornes sur la valorisation.
10.18 Résolution implicite de l’équation
Pour le schéma explicite, nous venons d’implémenter l’algorithme, soit sur l’équation de
la chaleur, soit sur l’équation de Black & Scholes directement. Le schéma converge à
condition que le pas de temps soit suffisement petit.
Les autres schémas (implicite, ou Crank Nicolson) font intervenir une résolution implicite.
Notons pour simplifier
Ag(x, t) = σ2 x 2
2
∂ 2 g(x, t) ∂g(x, t)
+ rx − rg(x, t),
∂x 2 ∂x
de telle sorte que l’équation de Black & Scholes devient
Ag(x, t) =
∂g(x, t)
.
∂t
En discrétisant cet opérateur, i.e. [Ag] i,j on peut écrire, pour le schéma implicite,
[Ag] i,j+1 = g i,j+1 − g i,j
,
∆t
et pour le schéma de Crank Nicolson (centré),
1
2 ([Ag] i,j+1 + [Ag] i,j ) = g i,j+1 − g i,j
. (18)
∆t
Ces deux méthodes donnent alors respectivement
g i,j+1 = g i,j + ∆t[α 1 (g i−1,j+1)−gi,j+1 )+β i (g i+1,j+1)−gi,j+1 )−rg i,j+1 ],
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance