Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 171
et que Z t peut également se réécrire
( 1 c 2
Z t = exp
2 σ · t + c )
2 σ ˜W t ,
on en déduit le prix d’un call européen à la date 0, sous la forme
⎛ ( ( [r
S
⎜
0 exp + c −
1
σ2] · T + σ ˜W
) )
2 T − K
V (0) = E Q ⎝exp(−rT )
(
1 c
exp
2
· T + c ˜W
)
2 σ 2 σ T
Pour rappel, sans ajustement sur le drift, nous aurions
(
V (0) = E Q
(exp(−rT ) S 0 exp
([r − 1 ] )) )
2 σ2 · T + σW T − K
Le choix du changement de drift est relativement délicat. Notons que le changement
de mesure à l’aide du théorème de Girsanov, au lieu de se faire sur le processus (S t ) t∈[0,T ] ,
peut être fait sur le processus discrétisé par un algorithme de type Euler.
La méthode de réduction de variance peut se faire en limitant les processus possibles
aux fonctions en escaliers et déterministes, suivant l’idée de Glasserman, Heidelberger
& Shahabuddin (1998).
Notons qu’il est possible d’utiliser un principe de grandes déviations poour trouver la
dérive optimale.
Le problème peut s’écrire sous la forme suivante: on cherche un vecteur s de R nl , telle
que
(
g(Z + s) exp −s ′ Z − 1 )
2 s′ s 1 Z+sD ,
ait la variance la plus faible possible, où Z est un vecteur gaussien centré réduit de
dimension nl, sous la probabilité Q s , et où D est l’ensemble {z ∈ R nl , g(z) > 0}. Ce
problème peut s’écrire
(
min E Qs g(Z + s) 2 exp (−2s ′ Z + s ′ s) 1 Z+sD , )
s
ou encore, en repassant sous la probabilité initiale P
min
s
E P exp ((2F (Z) + s ′ Z + s ′ s) 1 Z+sD ) ,
où Z ∼ N (0, I) sous P, et où F (·) = log g(·).
En fait, il est possible d’accélérer encore la convergence en utilisant la méthode de
stratification présentée dans la section ??.
Remarque 94. En fait, il est possible d’utiliser des méthodes stochastiques afin de déterminer
le changement de drift optimal ( Lions (2002)).
+
⎞
⎟
⎠.
.
+
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance