Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 64
Maillage adaptatif (intense près du strike)
Maillage adaptatif (intense près de la barrière)
−4 −2 0 2 4
−4 −2 0 2 4
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
Figure 37: Deux arbres adaptatifs, pour une option de type all-or-nothing à gauche, ou
à barrière à droite.
6.23 Une application simple des arbres adaptatifs
Considérons le cas d’un call européen (classique) très en dehors de la monnaie, S 0 = 100
et K = 150, voire K = 200. La Figure suivante montre l’évolution du prix du call
pour des options en dehors de la monnaie (les ordonnées sont cohérentes, au sens où elles
représentent le vrai prix du call ±1%).
Plus le strike est éloigné de la valeur du sous-jacent, plus l’algorithme est lent à
converger. Aussi, les arbres adaptatifs sont éventuellement une solution, en intensifiant
le maillage pour des prix proches du strike.
Pour mettre en oeuvre simplement l’arbre adaptatif, on génère un premier arbre
grossier à n branches. On cherche alors la date iT/n à laquelle le prix maximum du
sous-jacent (S 0 u i ) dépasse le strike. A partir de ce point, on génère un arbre pour valoriser
l’option valant S 0 u i à la date initiale, de strike K et de maturité T − iT/n. On
génère alors un arbre plus fin, à m branches.
De manière générale, on peut générer plusieurs arbres plus fins afin de mieux valoriser le
prix des options à une date intermédiaire (Figure 39). En particulier, pour la valorisation
du call très en dehors de la monnaie, on a intérêt à intensifier le maillage pour les valeurs
élevées. En effet, pour les valeurs faibles du sous-jacent, le prix de l’option est nul.
Algorithmiquement, on génère les arbres à n périodes, pour le sous-jacent et le prix
de l’option. On calcule alors de prix de l’option de manière récursive, et arrivé à la date
i (obtenu en résolvant S 0 u i = K, soit i = log(K/S 0 )/ log(u)), on subtitue à la valeur de
l’option à un noeud de l’arbre, le prix d’une option dont la valeur initiale est S 0 u i , de
strike K et de maturité T − iT/n, par arbre binomial (Figure 40).
Parmi les arbres adaptatifs on compte aussi les arbres épais. Formellement, le processus
de prix du sous-jacent est une chaîne de Markov ((X t ) t∈{t0 ,t 1 ,...,t n }) qui évolue sur un
arbre “classique” T .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance