Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 49
Erreur relative, 500 périodes
Erreur relative, 500 périodes
d[100:900]
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
d[400:600]
−6 e−04 −2 e−04 2 e−04 6 e−04
20 40 60 80
Prix du sous−jacent en t=0
40 45 50 55 60
Prix du sous−jacent en t=0
Figure 25: Erreur lors du calcul du prix, arbre à 500 périodes.
6.7 Que se passe-t-il sous cette probabilité risque neutre ?
Pour un arbre dans un modèle à une période, sous la probabilité risque neutre, Q, notons
que
( ) ( )
1
1
E Q
1 + r S 1 |F 0 = E Q
1 + r S 1 |S 0 = 1 ( 1 + r − d
1 + r u − d
S 0u + u − 1 − r )
u − d
S 0d = S 0 .
Aussi,
Plus généralement, notons que
E Q
( 1
1 + r S 1 |F 0
)
= 1
1 + r E Q (S 1 |S 0 ) = S 0 .
(
)
1
E Q
(1 + r) S n n |F 0 = S 0 ,
c’est à dire que les prix actualisés sont des martingales.
Remarque 21. Une autre façon d’écrire ce résultat est de noter que
( )
Sn+1
E Q |F n = 1 + r.
S n
La valeur moyenne des rendements sous la probabilité risque neutre correspond au taux
sans risque.
Sous la probabilité risque neutre, Q, notons que
E Q (e −rt S t |F u ) = e −ru S u
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance