Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 45
soit
p = exp(µt) − d .
u − d
De plus, la variance de la rentabilité est σ 2 t, qui vérifie
pu 2 + (1 − p)d 2 − [pu + (1 − p)d] 2 = σ 2 t,
de telle sorte que
(
u = exp σ √ )
t
(
et d = exp −σ √ )
t ,
comme l’avait noté Cox, Ross & Rubinstein (1979).
En fait, rappelons que la valorisation doit se faire sous la probabilité risque neutre p ∗ ,
p ∗ = (exp(rt) − d)/(u − d).
Exemple 18. Prenons un call d’échéance T = 1 an, de prix d’exercice K = 50, ne
versant pas de dividendes. L’action cote également S 0 = 50, avec une volatilité estimée
de σ = 40% par an, un taux sans risque de r = 5% par an. On en déduit les valeurs
suivantes
et donc
u = exp(σ √ 1/5) = 1.195884 et d = exp(−σ √ 1/5) = 0.8362017,
p ∗ = exp(r/5) − d = 48.33%.
u − d
La Figure 19 montre toutes les valeurs possibles du sous-jacent, en bleu. Notons que la
valeur du call est également reportée, à chacun des noeuds.
Notons que si Rubinstein (1979) a imposé la contrainte ud = 1 pour des raisons
de simplification de calculs, il reste un degré de liberté. Une alternative possible est
d’imposer p = 1/2 et des considérer alors
]
u = exp
([r − σ2
t + σ √ )
]
t et d exp
([r − σ2
t − σ √ )
t .
2
2
6.6 Pourquoi le prix dépend de Q, et pas de P ?
Valoriser en cherchant E P (payoff) revient à dire que l’on cherche à se protéger en moyenne.
C’est le principe de calcul de la prime pure en assurance.
Ici, on cherche à être couvert dans tous les cas, peu importe les probabilités de hausse
ou de baisse du sous-jacent. On ne peut donc pas utiliser une approche assurantielle,
actuarielle, ou probabiliste.
Toutefois, le prix obtenu peut être interprété comme une espérance mathématique,
non pas sous P, mais sous une probabilité ad-hoc, Q, appelée probabilité risque neutre.
Proposition 19. Le fait qu’il y ait absence d’opportunité d’arbitrage est équivalent à
l’existence d’au moins une probabilité risque neutre.
Proposition 20. S’il y a absence d’opportunité d’arbitrage, le fait que le marché soit
complet est équivalent à l’existence d’ une probabilité risque neutre.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance