Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 188
Valeur du Delta, option digital (n=25 000)
Valeur du Delta, option digital (n=250 000)
0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24
0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Coefficient de lissage
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Coefficient de lissage
Figure 132: Calcul des grecques pour une option digitale, à l’aide de 25 000 simulations
à gauche, et de 250 000 simulations à droite.
12.14 Le problème de la dimension
On considère ici m actifs (a priori corrélés.
La simulation d’un vecteur Gaussien de R m nécessite la recherche d’une matrice triangulaire
inférieure M telle que MM ′ = Σ (algorithme de Cholesky).
L’analyse en composantes principales propose de réduire le problème, de la dimension
m à une dimension k beaucoup plus faible. Rappelons que M peut s’écrire M = Q √ D où
Q est la matrice des valeurs propres unitaires de Σ, et D la matrice diagonale des valeurs
propres.
L’idée est ici de ne garder que les k plus grandes valeurs propres, afin de réduire la
dimension.
⎛
⎜
⎝
1.65 0.29 0.00 0.56
0.29 0.75 −0.04 0.56
0.00 −0.04 0.16 0.00
0.56 0.56 0.00 0.64
⎞
⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
× ⎜
⎝
0.81 0.55 0.069 0.15
0.36 −0.71 0.15 0.57
−0.01 0.04 −0.95 0.31
0.45 −0.42 −0.26 −0.7408629
⎛
2.09 0.00 0.00 0.00
0.00 0.85 0.00 0.00
0.00 0.00 0.17 0.00
0.00 0.00 0.00 0.08
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
0.81 0.55 0.069 0.15
0.36 −0.71 0.15 0.57
−0.01 0.04 −0.95 0.31
0.45 −0.42 −0.26 −0.7408629
On peut alors construire la matrice induite en supprimant les plus petites valeurs propres
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance