Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 214
On se donne alors une base (h i,k ) k∈N de fonctions qui forme une base de L 2 i . Alors
ψ i (x) =
∞∑
ω i,k h i,k (x).
k=1
L’idée de l’algorithme est alors le suivant
1. On initialise en posant τ n = T ,
2. On cherche ω i = (ω i,k ) k∈N , suite qui minimise
⎛(
) ⎞ 2 ∞∑
E ⎝ e −r(τ i+1−t i ) g(S τi+1 ) − ω i,k h i,k (S ti ) ⎠ .
k=1
3. On pose alors
(
τ i = τ i = t i · 1 g(S ti ) ≥
) (
∞∑
ω i,k h i,k (S ti ) + τ i+1 · 1 g(S ti ) <
k=1
)
∞∑
ω i,k h i,k (S ti ) .
k=1
La difficulté est ici de résoudre un problème d’optimisation sur un espace infini, on
va alors considérer une approximation de ω i = (ω i,k ) k∈N , ω ∗ i = (ω i,k ) k=1,...,K , solution du
programma ⎧ ⎛(
)
⎨
2
⎞⎫
K∑
⎬
min
⎩ E ⎝ e −r(τ i+1−t i ) g(S τi+1 ) − ω i,k h i,k (S ti ) ⎠
⎭ .
A partir de là, on estime l’espérance par une méthode de Monte Carlo, ce qui donne
l’algorithme suivant: on simule M trajectoires (S m t i
) i=0,...,n , pour m = 1, ..., M, puis considère
l’algorithme suivant
1. On initialise en posant τ m n = T ,
k=1
2. On cherche ω i = (ω i,k ) k=1,...,K qui minimise
⎛(
1
M∑
⎝ e −r(τ i+1−t i ) g(S τ m
M
i+1
) −
m=1
) 2
⎞
K∑
ω i,k h i,k (S ti ) ⎠ .
k=1
3. On pose alors
(
τi m = τ i = t i · 1 g(St m i
) ≥
) (
K∑
ω i,k h i,k (St m i
) + τi+1 m · 1 g(St m i
) <
k=1
)
K∑
ω i,k h i,k (St m i
) .
k=1
A partir de cet algorithme, l’estimateur du prix de l’option américaine à la date 0 est
1
M
M∑
m=1
e −r(τ m 0 )g(Sm τ m 0
).
Remarque 113. Par soucis de simplicité, on peut prendre une base de fonction (h k ) qui
ne dépende pas de la date t i .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance