Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 199
Région d’exercice du put américain
Prix du sous−jacent
0 20 40 60 80
0 50 100 150 200
Temps
Figure 139: Région d’exercice d’un put américain, méthode par arbre.
Leisen (1998) suggère de poser, si n = T/∆t
{ u ∗ = exp(log(K/S 0 )/n + σ √ ∆t)
d ∗ = exp(log(K/S 0 )/n − σ √ ∆t)
La probabilité (risque neutre) de monter était q = (exp(rh) − d)/(u − d) devient
q ∗ = (exp(rh) − d ∗ )/(u ∗ − d ∗ ).
La figure 140 compare ainsi l’évolution de ces deux arbres.
14.12 Approche par équations aux dérivées partielles
Dans le cas des options américaines, le domaine des prix d’actifs s t se découpent en deux,
séparées par une valeur St
∗ telle que
• si S t ≤ St ∗ , la décision optimal pour l’acheteur du put est d’exercer son droit, et donc
pour tout t tel que S t ≤ St ∗ , P t = K − S t ,
• si S t > S ∗ t , la décision optimal pour l’acheteur du put est de pas exercer son droit:
tant que le prix du sous-jacent reste dans cette zone, l’option est équivalente à une
option européenne. Il est alors possible de constituer un portefeuille de réplication,
et donc, dans cette zone de prix, le put américain vérifie l’équation
∂P t
∂t + rS ∂P t
t + 1 ∂S t 2 σ2 St
2
∂ 2 P t
∂S 2 t
= rP t .
Notons de plus que quelle que soit la région où se trouve le prix du sous-jacent, le prix
actualité de l’option américaine est une surmartingale, i.e.
pour tout t, h > 0, E Q (e −r(t+h) P t+h |F t ) ≤ e −rt P t .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance