Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 183
Maximum du prix du sous−jacent
Maximum du prix du sous−jacent
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Evolution du temps
0.36 0.38 0.40 0.42 0.44
Evolution du temps
Figure 126: Maximum du prix du sous-jacent et version discrétisée.
• utilistion de ponts brownien pour améliorer la précision.
noter que
P ( max{X t , t ∈ [t k , t k+1 ] ≤ z|X tk = x k , X tk+1 = x k+1 } ) = 1−exp
En particulier, on peut
qui est très facilement simulable en inversant cette fonction de répartition.
L’algorithme associé s’écrit alors simple
• Z k ← N (0, 1)
)
• S k+1 ← S k · exp
((r − σ2
h + σ · √h )
· Z k
2
• M k ← 1 (
S k + S k+1 + √ )
(S k+1 − S k )
2
2 − 2σ 2 S k h log Random .
(
− 2 )
(z − x k )(z − x k+1 )
,
h σ 2 x k
12.11 Les options à barrière(s)
Les options à barrières sont caractérisées le fait un payoff du type g(S T )I(S t ∈ B, t ∈
[0, T ]), c’est à dire que le prix du sous-jacent de doit pas avoir quitté un ensemble B avant
la maturité (typiquement S t ≤ B pour tout t ∈ [0, T ]).
Ces options sont caractérisées par l’étude du temps d’arrêt de sortie de l’ensemble
τ = inf{t ≥ 0, S t /∈ B}.
• une approche naturelle est de considérer le maximum sur une trajectoire discrétisée,
ˆτ = inf{t k ≥ 0, S tk
/∈ B, k = 1, ..., n}.
Mais ce temps d’arrêt sur-estimera toujours la vraie valeur, ˆτ ≥ τ. En fait, l’erreur
commise se sera - sous des conditions de régularité suffisantes, O(1/ √ n).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance