Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 133
Calcul de l’aire, méthode par simulations (d=2)
Calcul du volume, méthode par simulations (d=3)
Aire du disque unité
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0
Volume de la sphère unité
3.5 4.0 4.5 5.0
0 50 100 150 200
(Nombre de points simulés)^(1/2)
0 20 40 60 80
(Nombre de points)^(1/3)
Figure 73: Calcul d’aires, méthode par simulation, dimension 2 et 3.
La aussi, le calcul d’intégrales (simples ou multiples) peut se faire à l’aide de simulations.
En effet, ∫ h(u)du peut se voir comme une espérance,
[0,1]
∫
[0,1]
h(u)du = E(h(U)) où U ∼ U([0, 1]),
et plus généralement, pour une intégrale multiple
∫
[0,1] d h(u)du = E(h(U)) où U est à composante i.i.d, avec U i ∼ U([0, 1]).
Une approximation naturelle découle immédiatement de la loi des grands nombres: si
on peut générer n × d variables uniformes sur [0, 1] indépendantes, alors
De plus, si on pose
S n = 1 n
n∑
i=1
1
n
h(U i ) et V 2
n =
n∑
i=1
alors grâce au théorème central limite,
h(U i ) p.s.
→ E(h(U)).
⎛
n ⎝ 1
n − 1 n
n∑
h(U i ) 2 −
i=1
√ n
S n − E(h(U))
V n L → N (0, 1).
(
1
n
) ⎞ 2 n∑
h(U i ) ⎠ ,
i=1
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance