MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 190 Décomposition de Karhunen−Loève du brownien −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figure 133: Base ψ n (·) de décomposition du Brownien (Karhunen-Loève). Simulation de trajectoires du brownien Simulation de trajectoires du brownien −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Méthode de Karhunen−Loève, m=5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Méthode de Karhunen−Loève, m=20 Figure 134: Simulation de trajectoires du Brownien, décomposition de Karhunen-Loève (n = 5 et n = 20). Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
14 OPTIONS AMÉRICAINES 191 Base de Haar,n=1 Base de Haar,n=3 Base de Haar,n=5 Base de Haar,n=7 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Base de Haar,n=2 Base de Haar,n=4 Base de Haar,n=6 Base de Haar,n=8 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figure 135: Base H n (·) de décomposition du Pont Brownien (base de Haar). où Z 0 , Z 1 , ... sont des variables N (0, 1) indépendantes. Cet algorithme peut s’écrire de manière plus simple en posant ⎧ ⎨ t sur [0, 1/2[ F 1,1 (t) = 1 − t sur ]1/2, 1[ ⎩ 0 sinon, puis F k,j (t) = 2 −(k−1)/2 × F 1,1 (2 k−1 t − j + 1) pour k ≥ 1 et 1 ≤ j ≤ 2 k−1 . On note que le Pont Brownien sur [0, 1] peut être représenté sous la forme Π t L = ∞∑ k=1 2∑ k −1 j=1 F k,j (t)Z k,j , où Z 1,1 , ..., Z i,j , ... sont des variables N (0, 1) indépendantes. 13 Quelques mots sur d’autres méthodes 13.1 La Fast Fourier Transform 14 Options américaines Dans le cas d’une option américaine, le détenteur de l’option peut l’exercer non plus uniquement à la date T , mais à toute date entre 0 et T . Intervient alors une stratégie d’exercice, caractérisée par un temps d’arrêt τ “optimal” d’exercice de l’option. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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1 Méthodes numériques en finance
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