Méthodes numériques en finance

9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 92
Calcul d’intégrale: rectangles à gauche
Calcul d’intégrale: rectangles au centre
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Calcul d’intégrale: rectangles à droite
Calcul d’intégrale: trapèzes
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 45: Calcul d’intégrale, méthode des rectangles et des trapèzes.
Proposition 49. L’erreur défine par
εf =
est donnée par
∫ b
a
εf = 1 n!
f(x)ω(x)dx −
∫ b
a
n∑
λ i f(x i )
i=0
K n (t)f (n+1) (t)dt
où K n (·) est appelé noyau de Peano associé à la méthode, défini par
K n (t) = ε(g t ) où g t (x) = (x − t) n +.
Un des corrolaire est alors que
|ε(f)| ≤ 1 n! × ‖f (n+1) ‖ ∞ ×
∫ b
a
|K n (t)|dt.
Exemple 50. Pour la méthode du rectangle centré, pour un intervalle [−1, +1],
ε(f) =
∫ +1
−1
f(x)dx − 2f(0), et le noyau est alors
K 1 (t) = ε((x − t) + ) =
∫ +1
−1
(x − t) + dx − 2(−t) + = 1 2 (1 ± t)2 ,
suivant le signe de t, donc ∫ K 1 (t)dt = 1/3, et alors
ε(f) = 1 3 f ′′ (ζ) pour ζ ∈] − 1, +1[.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance