Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 213
Si p i,j,n ne dépend pas de n, on parlera de chaîne de Markov homogène, et p i,j est
appelée probabilité de transition. On note P la matrice des probabilités de transition
P = (p i,j ). Pour tout n ∈ N, si
alors
p (n)
i,j = P(X n = j|X 0 = i) pour i, j ∈ E,
P (n) = (p (n)
i,j ) = P n .
En particulier, la loi (marginale) de X n , p n est donnée par
p n = (P n ) ′ · p 0 .
Un état k est dit absorbant si P(X n+1 = k|X n = k) = 1.
14.23 Simulations et moindres carrés pour les options américaines
Une dernière solution pour calculer le prix d’une option américaine peut être d’utiliser la
méthode de Longstaff & Schwartz.
Le but n’est pas d’avoir la fonction valeur, mais de trouver numériquement le temps
d’arrêt optimal, pour une trajectoire donnée, τ.
Considérons une option Bermudéenne, permettant d’exerce l’option aux date t 0 = 0 <
t 1 < t 2 < ... < t n = T . On a alors l’algorithme récursif suivant, permettant de trouver le
temps d’arrêt optimal τ i , lorsque l’on l’on se trouve à la date t i ,
τ n = T
τ i = t i · 1(g(S ti ) ≥ u(t i , S ti )) + τ i+1 · 1(g(S ti ) < u(t i , S ti )),
pour i = 0, 1, ..., n − 1. De plus, notons que l’on a également
{g(S ti < u(t i , S ti ))} = { g(S ti ) < E(e −r(τ i+1−t i ) g(S τi+1 )|S ti ) } .
A l’aide de cette définition des temps d’arrêt τ i , on peut vérifier qu’ils s’écrivent,
récursivement,
τ i = min{t j ≥ t i , g(S tj = u(t j , S tj )}.
Il s’agit bien des temps d’arrêts optimaux au dates t i .
La difficulté est alors de calculer numériquement l’espérance conditionnelle
E(e −r(τ i+1−t i ) g(S τi+1 )|S ti ): Longstaff & Schwartz ont proposé d’utiliser une méthode
de moindres carrés pour calculer cette espérance conditionnelle.
Notons - pour simplifier - Z i+1 = e −r(τ i+1−t i ) g(S τi+1 ). Si la fonction g est bornée, Z i+1
sera alors bornée. En voyant l’espérance conditionnelle comme une projection dans L 2 ,
on écrit E(Z i+1 |S ti ) sous la forme ψ i (S ti ), où ψ est la fonction telle que
ψ = argmin
f∈L 2 i
{
E
(
(Sti+1 − f(S ti )) 2)} ,
parmi l’ensemble des fontions f telles que E(f(S ti ) 2 ) < ∞ (en toute rigueur, cet espace
dépend de la date t i ).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance