Méthodes numériques en finance

9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 94
L’idée naturelle est alors d’approcher f ′ (x) au point x n par
f ′ (x n ) ∼ f(x n+1) − f(x n )
x n+1 − x n
.
On parlera de schéma d’euler explicite si l’on considère le schéma numérique suivant
f(x n+1 ) − f(x n )
x n+1 − x n
= g(f(x n ), x n ), ou u n+1 − u n
x n+1 − x n
= g(u n , x n ) où u n = f(x n ),
et de schéma d’euler implicite si
f(x n+1 ) − f(x n )
x n+1 − x n
= g(f(x n+1 ), x n+1 ), ou u n+1 − u n
x n+1 − x n
= g(u n+1 , x n+1 ) où u n = f(x n ).
En effet, ces deux équation s’écrivent alors respectivement
u n+1 = u n + (x n+1 − x n ) × g(u n , x n pour le schéma explicite
et
u n+1 − (x n+1 − x n ) × g(u n+1 , x n+1 ) pour le schéma implicite.
Afin de bien comprendre l’intérêt de ces deux schémas, considérons l’exemple suivant.
Exemple 53. Considérons l’équation différentielle f ′ (x) = βf(x) où β > 0, avec comme condition
initiale f(x) = f 0 . La solution explicite est connue, ici: f(x) = e −betax f 0 . Pour discrétiser,
posons x n = nh avec h > 0. Dans le schéma explicite,
u n+1 = (1 − βh)u n = ... = (1 − βh) n u 0 .
Si u 0 ≠ 0, et si 1 − βh < −1, le schéma sera dit instable. Il faut alors imposer −1 ≥ 1 − βh,
soit h ≤ 2/β. Aussi, le pas de discrétisation doit être suffisement petit, sinon le schéma explose.
Dans le schéma implicite,
( ) 1 n
(1 + βh)u n+1 = u n soit u n =
u 0 .
1 + βh
Dans ce cas, pour tout h, le schéma converge.
D’autres méthodes sont également possibles. Rappelons juste la méthode de Runge-Kutta:
en intégrant l’équation différentielle, il vient que
f(x n+1 ) − f(x n ) =
∫ xn+1
x n
g(f(t), t)dt.
En utilisant par exemple la méthode des trapèzes pour calculer cette intégrale, il vient
u n+1 − u n = 1 g(u n , x n ) + g(u n+1 , x n+1 )
.
2 x n+1 − x n
Ce schéma correspond en fait à prendre la moyenne entre le schéma d’Euler explicite, et le schéma
d’Euler implicite. Il est possible de montrer qu’il converge à l’ordre 2.
De manière générale, en posant u = (u 1 , ..., u n ) = (f(x 1 ), ..., f(x n )), il est possible d’écrire le
système d’équations (linéaires) obtenues par la discrétisation sous la forme matricelle Au = b.
On peut alors utiliser les méthodes vues auparavant.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance