Méthodes numériques en finance

3 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 20
Proposition 7. Dans le cas d’options européennes, si C et P désignent les prix du call
et du put à la date 0,
max{S 0 − Ke −rT , 0} ≤ C ≤ S 0 ,
On a de plus la formule de parité
max{Ke −rT − S 0 , 0} ≤ P ≤ Ke −rT .
C − P = S 0 − Ke −rT .
Proposition 8. Dans le cas d’options américaines, si C et P désignent les prix du call
et du put à la date 0,
max{S 0 − Ke −rT , 0} ≤ C ≤ S 0 ,
On a de plus la formule de parité
max{Ke −rT − S 0 , 0} ≤ P ≤ K.
S 0 − K ≤ C − P ≤ S 0 − Ke −rT .
“The Black-Scholes formula is still around, even though it depends on at least 10
unrealistic assumptions. Making the assumptions more realistic hasn’t produced a formula
that works better across a wide ranfe of circumstances” (Black (1989)).
3.3 Comment fait-on pour valoriser des options ?
L’idée centrale pour valoriser des options est de pouvoir constituer des portefeuilles permetttant
de répliquer le payoff de l’option.
3.4 L’équation de Black & Scholes (1973) (sans démonstration)
La formule dite de Black & Scholes a été publiée en 1973, par Fischer Black et Myron
Scholes, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert
Merton.
La formule de Black & Scholes permet de calculer la valeur théorique d’une option
européenne à partir des cinq données suivantes,
• S 0 ou S la valeur actuelle de l’action sous-jacente
• T le temps qui reste à l’option avant son échéance
• K le prix d’exercice fixé par l’option, ou le strike
• r le taux d’intérêt sans risque
• σ 2 la volatilité du prix de l’action
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance