Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 187
En faisant un développement de Taylor de f au voisinage su strike K, on peut alors
obtenir que
C η − C = a 2 η 2 + a 4 η 4 + ...
où il est possible d’obtenir la forme des coefficients (a k ).
Afin d’estimer le ∆, il suffit de différencier tanh(·), et donc
( ) ∫
∆ η = e −rT ∂f(ST )
∞
[
E
= e −rT 1
1 − tanh 2 ( s − K s
)]
ψ(s)ds,
∂S 0 2η
η S 0
soit encore
( [ 1
∆ η = e −rT E 1 − tanh 2 ( S T − K
)
2η
η
0
]
ST
S 0
)
.
Aussi, il suffit de simuler la valeur terminale du processus, S 1 , ..., S n et de poser
ˆ∆ η = e −rT 1 n∑
( [ 1
1 − tanh 2 ( S ] )
i − K Si
) .
n 2η
η S 0
0
i=1
De manière analogue, en dérivant deux fois,
∫ ∞
Γ η = e −rT − tanh( s − K [
) 1 − tanh 2 ( s − K ] [ ] 1 s
) ψ(s)ds.
η
η η 2 S 0
La aussi, l’intégrale correspondant à une espérance (d’un fonction de S T ), il suffit de
simuler la valeur à maturité du sous-jacent, puis d’approcher l’espérance par un moyenne.
On obtient ainsi l’algorithme de Monte Carlo présenté ci-après, et d’obtenir ainsi la
Figure 132. Notons que la vraie valeur du ∆ est 0.01892 et que celle du Γ est −0.00031.
Régularisation du payoff d’une option digitale
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Delta2
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0 50 100 150 200
Prix du sous−jacent à maturité
0 10000 20000 30000 40000 50000
1:nsim
Figure 131: Calcul des grecques pour une option digitale, avec la fonction de payoff lissée
à gauche, et la convergence de la méthode de monte carlo.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance