Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 201
14.14 Approche par équations aux dérivées partielles: inégalité
variationnelle
Les deux possibilités évoquées précédement peuvent aussi être exprimées sous d’un système
d’inégalités, appelée inéquation variationnelle (Benssoussan & Lions (1982)), en
notant H la fonction de payoff,
⎧
∂P
⎪⎨
∂t + rS ∂P
t + 1 ∂S t 2 σ2 St
2 ∂ 2 P
− rP ≤ 0
⎪⎩
( ∂P
∂t + rS ∂P
t + 1 ∂S t 2 σ2 St
2
∂ 2 P
∂S 2 t
− rP
∂S 2 t
P
)
(S t , t) − H(S t , t) ≥ 0
(P (S t , t) − H(S t , t))
La dernière condition est là simplement pour rappeler que nécessairement une des deux
inégalités est forcément une égalité.
Lors de la résolution de l’équation obtenue par Black & Scholes, nous avions vu
qu’il était possible de se ramener à l’équation de la chaleur,
∂u(x, tτ)
∂τ
− ∂2 u(x, τ)
∂τ 2 = 0.
En utilisant les mêmes
⎧
changement de variable, en notant g la fonction de payoff, le
∂u(x, tτ)
− ⎪⎨
∂2 u(x, τ)
≥ 0
∂τ ∂τ 2
système précédant s’écrit ( )
u(x, τ) − g(x, τ) ≥ 0
∂u(x, tτ)
⎪⎩
− ∂2 u(x, τ)
(u(x, τ) − g(x, τ)) = 0
∂τ ∂τ 2
C’est à partir ce système de Brennan & Schwartz (1978) a proposé une solution
par différence finie.
• Pour mieux comprendre le programme, une introduction en dimension 1.
Pour commencer, essayons de comprendre comment résoudre ce problème en dimension
1, c’est à dire un programme de la forme suivante,
⎧
⎨
⎩
u ′′ (x) ≥ f(x) pour x ∈] − 1, 1[
u(x) ≤ g(x) pour x ∈] − 1, 1[
(u ′′ (x) − f(x) · (u(x) − g(x)) = 0 pour x ∈] − 1, 1[
avec la condition de bord suivante u(−1) = u(1) = 0.
On considère alors une grille x 0 = −1 < x 1 < ... < x n = 1, que l’on supposera
homogène, de pas h = 2/n, i.e. x i = −1 + ih pour i = 0, ..., n. En notant u i = u(x i ), on
réécrit le système sous la forme
⎧
⎨
⎩
(u i−1 − 2u i + u i+1 ) ≥ h 2 f i
u i ≤ g i
((u i−1 − 2u i + u i+1 ) − h 2 f i ) · (u i − g i ) = 0
avec comme conditions de bords u 0 = u n = 0. En notant A la matrice associé à cette
,
,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance