Méthodes numériques en finance
Méthodes numériques en finance
Méthodes numériques en finance
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 85<br />
9.1 Inversion de matrices et résolution de systèmes linéaires<br />
On s’intéresse ici à résoudre <strong>en</strong> x l’équation linéaire Ax = b où A est une matrice n×n inversible,<br />
et b un vecteur colonne de taille n.<br />
La méthode simpliste consiste à essayer d’inverser A, de telle sorte que x = A −1 b. La formule<br />
universelle serait d’utiliser la transposée de la commatrice, mais le nombre d’opération nécessaire<br />
est alors <strong>en</strong> n!. Pour rappel, si n = 100, n! est de l’ordre de 10 158 .<br />
L’idée de la méthode d’élimination de Gauss cherche à r<strong>en</strong>dre la matrice A triangulaire<br />
(supérieure ou inférieure).<br />
Exemple 40. Considérons le système suivant<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
4 8 12 4 8 12<br />
⎣ 3 8 13 ⎦ x = ⎣ 3 8 13<br />
2 9 18 2 9 18<br />
c’est à dire<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎤ ⎡<br />
⎦ ⎣<br />
4x 1 + 8x 2 + 12x 3 = 4<br />
3x 1 + 8x 2 + 13x 3 = 5<br />
2x 1 + 9x 2 + 18x 3 = 11<br />
⎤ ⎡<br />
x 1<br />
x 2<br />
⎦ = ⎣<br />
x 3<br />
La première équation sert alors de pivot pour éliminer x 1 dans les dernières, soit<br />
⎧<br />
⎨ x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1<br />
2x 2 + 4x 3 = 2<br />
⎩<br />
5x 2 + 12x 3 = 9<br />
La seconde équation de ce système sert alors de pivot pour éliminer x 2 dans la troisième<br />
⎧<br />
⎨ x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1<br />
x 2 + 2x 3 = 1<br />
⎩<br />
2x 3 = 4<br />
Ce qui donne le système simpliste suivant<br />
⎧<br />
⎨ x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1<br />
⎩<br />
x 2 + 2x 3 = 1<br />
x 3 = 2<br />
On remonte alors pour trouver toutes les valeurs, i.e. x 3 = 2, x 2 = −3 et x 1 = 1.<br />
Sur cet exemple simple, on voit que l’algorithme est peu coûteux <strong>en</strong> temps de calcul: le nombre<br />
d’opérations est de l’ordre de n 3 /3: <strong>en</strong> doublant la taille, on multiplie le nombre d’opérations<br />
par 8.<br />
Remarque 41. La résolution de systèmes linéaires est très instable numériquem<strong>en</strong>t. La solution<br />
du système suivant ( Rappaz & Picasso (1998))<br />
{ 4.218613x1 + 6.327917x 2 = 10.546530<br />
3.141592x 1 + 4.712390x 2 = 7.853982<br />
est trivialem<strong>en</strong>t donnée par x 1 = x 2 = 1. Mais si on change un peu le système <strong>en</strong><br />
{ 4.218611x1 + 6.327917x 2 = 10.546530<br />
3.141594x 1 + 4.712390x 2 = 7.853980<br />
la solution est toujours unique, mais elle devi<strong>en</strong>t x 1 = −5 et x 2 = +5, ce qui est clairem<strong>en</strong>t<br />
différ<strong>en</strong>t du cas précéd<strong>en</strong>t.<br />
4<br />
5<br />
11<br />
⎤<br />
⎦ ,<br />
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques <strong>en</strong> Finance
Change language