MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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Espace Espace Espace Espace Espace Espace Espace Espace 10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 102 Equation de la chaleur, lambda=0.174 Equation de la chaleur, lambda=0.347 Temps Temps Equation de la chaleur (explicite), lambda=0.520 Equation de la chaleur (explicite), lambda=0.535 Temps Temps Figure 50: Schéma explicite pour l’équation de la chaleur, diminution du pas de temps ∆t, et augmentation de λ. Equation de la chaleur (implicite), lambda=0.174 Equation de la chaleur (implicite), lambda=0.347 Temps Temps Equation de la chaleur (implicite), lambda=0.520 Equation de la chaleur (implicite), lambda=0.861 Temps Temps Figure 51: Schéma implicite pour l’équation de la chaleur, diminution du pas de temps ∆t, et augmentation de λ. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
Espace Espace Espace Espace 10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 103 Equation de la chaleur (Crank Nicholson), lambda=0.174 Equation de la chaleur (Crank Nicholson), lambda=0.347 Temps Temps Equation de la chaleur (Crank Nicholson), lambda=0.520 Equation de la chaleur (Crank Nicholson), lambda=0.861 Temps Temps Figure 52: Schéma de Crank-Nicolson pour l’équation de la chaleur, diminution du pas de temps ∆t, et augmentation de λ. Résolution schéma implicite - équation de la Chaleur • schéma de Crank-Nicolson En combinant ces deux approches, on génére un θ-schéma. En particulier, si θ = 1/2, on obtient le schéma de Crank Nicolson, u i+1,j − u i,j ∆t − κ 2 u i+1,j+1 − 2u i+1,j + u i+1,j−1 h 2 − κ u i,j+1 − 2u i,j + u i,j−1 2 h 2 = f i+1,j . L’absence d’écriture sous forme récursive oblige à résoudre un système linéaire. Résolution schéma Crank-Nicolson - équation de la Chaleur • le schéma saute-mouton (leap frog) Dans ce schéma, on considère la discrétisation suivante de l’équation aux dérivées partielles, u i+1,j − u i−1,j 2∆t − κ u i,j+1 − 2u i,j + u i,j−1 h 2 = f i,j . 10.6 La notion de consistance Rappelons que ε(∆t, h) = max{ε i,j } est appelé erreur de troncature. Définition 61. Un schéma numérique est dite consistant si l’erreur de troncature tend vers 0 quand ∆t, h → 0. Un schéma numérique est dite précis à l’ordre p en espace, et q en temps s’il existe une constante C telle que ε(∆t, h) ≤ C(h p + ∆t q ). En particulier, pour les schémas présentés dans la section préédante, on a Proposition 62. Si la solution u est suffisement régulière, alors Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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