Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 66
Ajout d’un maillage à plusieurs niveaux
PRIX.CALL[10:150]
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
20 40 60 80 100 120 140
10:150
Figure 40: Options très en dehors de la monnaie.
A un point τ de l’arbre (correspondant à une date t et un état x donnés), considère
un second “processus” pouvant prendre K valeurs,
Y (x, t, 1), Y (x, t, 2), ..., Y (x, t, K).
Un arbre épais est alors le produit cartésien de l’arbre classique T et de l’ensemble
des valeurs possible du second processus, i.e. D = {1, 2, ..., K}. Aussi, chaque T × {k}
est un arbre classique. On notera T ∗ l’arbre épais ainsi construit.
A chaque noeud (τ = (x, t), k) de cet arbre T ∗ = T × D, le processus (X, Y ) prend la
valeur (x, Y (x, t, k).
6.24 Les options lookback
Une première idée peut être non plus de construire l’arbre du sous-jacent, mais de le
normaliser. A chaque date t, on ne représente plus les différentes valeurs de S t , mais
S ′ t = max{S u, u ∈ [0, T ]}
S t
,
et on construit l’arbre associé, comme sur la Figure 41.
6.25 Les options asiatiques
L’utilisation d’un arbre binomial
(
n’est
∫
a priori pas naturelle pour valoriser une option
1
T
)
asiatique, par exemple de payoff S t dt − K (call asiatique à strike fixe). Pour
T 0
+
deux méthodes sont possibles (Forsyth, Vetzal & Zvan (1998)).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance