MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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14 OPTIONS AMÉRICAINES 210 Monte Carlo pour options américaines 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 0 2000 4000 6000 8000 10000 Nombre de simulations Figure 147: Convergence de la méthode de Monte Carlo. Monte Carlo pour options américaines 20 40 60 80 100 0 50 100 150 200 Temps Figure 148: Intuition de la frontière d’exercice par Monte Carlo. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
14 OPTIONS AMÉRICAINES 211 14.19 Algorithme de Grant, Vora & Weeks (1996) A la date T , la payoff de l’option est P T (S T ) = (S T − K) + pour un call américain, et P T (S T ) = (K − K) + pour un put américain. Le prix critique d’exercice est alors ST ∗ = S T puisqu’on a intérêt à acheter. Plaçons nous dans le cas d’un call américain. A la date t = T − δ, on utilise un algorithme backward, en notant que P t (S t ) = { St − K si S t ≥ S ∗ t e −rδ E (P t (S T ) |S t ) si S t ≤ S ∗ t La valeur critique à la date t, S ∗ t est le prix pour lequel ces deux quantités sont égales, soit S ∗ t − K = e −rδ E (P t+δ (S t+δ ) |S t = S ∗ t ) Il s’agit alors de trouver s tel que f (s) = 0 où f (s) = s − K − e −rδ E (P t (S T ) |S t = s) où E (P t+δ (S t+δ ) |S t = s) est calculé par des méthodes de Monte Carlo, c’est à dire en simulant S T sachant S t = s. On calcule alors f (s) pour plusieurs valeurs de s, puis on cherche une valeur qui annule f. L’algorithme de calcul de l’espérance conditionelle est alors le suivant: supposons que l’on cherche à approcher Sn, ∗ à partir des valeurs critiques déjà obtenues, { S ∗ n+1 , Sn+2, ∗ ..., ST ∗ = K} . Pour estimer E (P n+1 (S n+1 ) |S n = s), on simule des valeurs des valeurs S n+1 , S n+2 , ... jusqu’à arriver soit à expiration, soit à une valeur critique, i.e. S m > Sm ∗ pour un m entre n + 1 et t. L’espérance est alors approchée par la moyenne des valeurs suivantes e −r(T −(n+1))δ (S T − K + ) I ( S n+1 ≤ S ∗ n+1, ..., S T ≤ S ∗ T ) (par d’exercice anticipé) +e −r(m−(n+1))δ (S m − K + ) I ( S n+1 ≤ S ∗ n+1, ..., S m−1 ≤ S ∗ m−1, S m > S ∗ m) (exercice anticipé en m) 14.20 Algorithme de Welch & Chen (1991) Rappelons que le prix d’un call américain s’écrit simplement C = sup τ∈T (0,T ) ( ) E Q e −rτ (S τ − K) + où τ est un temps d’arrêt optimal. Une idée "naturelle" peut alors être de chercher une procedure permettant de trouver un algorithme permettant d’obtenir le temps d’arrêt optimal. Ce problème d’optimisation stochastique peut se résoudre de la manière suivante (voir e.g. Fu (1994) pour un survey sur ce genre de méthodes). 14.21 Algorithme de Barraquand & Martineau (1995) Cet algorithme est très proche de celui de Tilley (1993), basé sur une partition des trajectoires simulées. L’idée est partitioner l’espace de la valeur du payoff en K valeurs, Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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1 Méthodes numériques en finance
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