Méthodes numériques en finance

9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 84
8.12 Le modèle de Bates
8.13 Les formes d’équations vues jusqu’à présent
Pour les options européennes, le prix est obtenu est résolvant l’équation de la chaleur,
∂u(x, t)
∂t
= ∂2 u(x, t)
∂x 2 ,
avec une condition de bord en espace. La condition de bord en temps est liée à la forme du
payoff.
Pour les options lookback, le prix est obtenu est résolvant l’équation
∂u(x, z, t)
∂t
=
∂u(x, z, t)
, pour |x| < z et
∂x
∂u(x, z, t)
∂z
= 0 si |x| > z
avec une condition de bord en temps est liée à la forme du payoff.
Pour les options sur moyenne, le prix est obtenu est résolvant l’équation
∂u(x, z, t)
∂t
= ∂2 u(x, z, t) ∂u(x, z, t)
∂x 2 + x
∂z
avec une condition de bord en temps est liée à la forme du payoff.
De manière très générale, pour les produits dérivés de type européen, le prix est solution
d’une équation aux dérivées partielles de la forme suivante,
∂u
∂t +
convection
{ }} {
a ∂u
∂S + b∂u ∂r + c∂u
∂I +
saut
{
diffusion
⎡ }} ⎤{
{ }} {
∫
d ∂2 u
∂S 2 + e ∂2 u
∂S∂r + f ∂2 u
∂r 2 = ru −
r ⎢
⎣ η(x)u(x)dx − u⎥
⎦ ,
} {{ }
convolution
où (S t ) et (r t ) sont des processus d’Ito, I une composante éventuellement aléatoire mais pas
un processus ,a, b, c, d, e et f sont (de manière générale) des fonctions de S t ,r t , I et t, h est
l’intensité du processus de sauts, et η(·) la densité des sauts.
9 Petits rappels d’analyse numérique
La plupart des méthodes que nous aborderons reposent sur les mêmes grands algorithmes, cherchant
des valeurs précisent (dans R voire R n ),
• trouver un vecteur x tel que Ax = b où A et b sont données,
• trouver des zéro de fonction: trouver x tel que f(x) = 0, ce qui équivaut à trouver un
inverse, i.e. x = f −1 (0),
• trouver des optimas de fonction: trouver x ∗ tel que x ∗ ∈ argmin{f(x)},
• interpoler les fonctions: trouver ω tel que f(x) = ∑ i≥0 ω ih i (x), dans une base (h i ) i≥0 ,
• trouver des solutions d’équations différentielles de fonction: trouver une fonction f(·)
(générallement en des points bien précis, ce qui revient à trouver f = (f(x 1 ), ..., f(x n ))), solution
d’une équation différentielle, i.e. f ′ (x) = h(f(x), x) pour tout x, avec des conditions
de bord éventuelles.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance