Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 160
en terme de simulations est alors claire: les incréments sont corrélés, avec une corrélation
ρ. En fait, on peut montrer qu’alors, plus générallement, pour tout s < t,
corr(W 1
t − W 1 s , W 2
t − W 2 s ) = ρ(indépendament de t et s).
L’interprétation peut également être la suivante: si X 1 , ..., X n sont i.i.d. N (0, 1), si
Y 1 , ..., Y n sont i.i.d. N (0, 1) et si pour tout i, (X i , Y i ) est un vecteur gaussien de corrélation
ρ, alors
corr(X 1 + .... + X n , Y 1 + .... + Y n ) = ρ pour tout n ∈ N.
En effet
On pose alors
( X
Y
⎛⎛
)
∼ N
⎜⎜
⎝⎝
A =
0.
0
0.
0
⎞
⎛
,
⎟ ⎜
⎠ ⎝
1 ρ (0)
. .. . ..
1 (0) ρ
ρ (0) 1
. .. . ..
(0) ρ 1
( 1 · · · 1 (0)
(0) 1 · · · 1
On peut alors monter que
( ) ( ) (( X X1 + ... + X
A =
n
0
∼ N
Y Y 1 + ... + Y n 0
)
) ( n nρ
,
nρ n
⎞⎞
⎟⎟
⎠⎠
c’est à dire que corr (X 1 + ... + X n , Y 1 + ... + Y n ) = ρ.
Notons qu’au lieu d’avoir un les incréments des vecteurs gaussiens indépendants, de
corrélation r, il est possible d’avoir d’autres types de dépendance (i.e. copules, Figure
110). A partir de ces processus, il est possible de tarifer des options multisupports, ou
des processus à volatilité stochastique (dont les browniens sont corrélés).
11.12 Impact de la corrélation sur les prix d’options
On considère une options sur spread, payant (S 1 T − S2 T ) + à échéance. La figure suivante
montre l’impact de la corrélation sur le prix d’une telle option.
11.13 Processus à volatilité stochastique
Plaçons nous dans le cas où le prix d’un actif est donné par la diffusion suivante,
dS t
S t
= µdt + Σ t dW 1
t ,
où le processus de volatilité (Σ t ) t≥0 suit un processus d’Ornstein-Uhlenbeck, i.e.
dΣ t = −bΣ t + δdW 2
t ,
où (W t ) t≥0 = (Wt 1 , Wt 2 ) t≥0 est un mouvement brownien (standard) bivariée, de corrélation
ρ (on parlera aussi de corrélation instantannée entre dWt 1 et dWt 2 ).
On peut utiliser un schéma d’Euler, et à chaque date, utiliser la volatilité simulée.
))
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance