Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 175
Ecart−type du prix d’un call,
importance sampling, 25 000 simulations
Ecart−type du prix du call européen
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
Valeur du drift
Figure 119: Ecart-type du prix du call en fonction du changement de la valeur de drift,
importance sampling
Définition 96. Considérons une suite {u 1 , u 2 , . . .} où pour tout i, u i ∈ [0, 1] d . On notera
λ n (B) la proportion des n premiers points de la suite appartenant à B, pour tout B ⊂
[0, 1] d , i.e.
λ n (B) = 1 n∑
I (u i ∈ B) .
n
On appelle alors discrépance la suite
i=1
D n (u) = sup {|λ n (B)| − λ (B)} ,
B
où λ est la mesure de Lebesgue, et où le sup est pris sur l’ensemble des pavés de [0, 1] d .
Cette notion théorique permet en fait de comparer une fonction de répartition empirique
à celle définie par rapport à la mesure de Lebesgue.
Définition 97. La suite {u 1 , u 2 , . . .} où pour tout i, u i ∈ [0, 1] d est dite équirépartie sur
[0, 1] d si pour toute fonction h : [0, 1] d → R Rieman-intégrable
1
n∑
∫
h (u i ) → h (u) du quand n → ∞.
n
[0,1] d
i=1
Exemple 98. Si {U 1 , U 2 , . . .} est une suite de variables indépendantes de loi Uni(0, 1),
alors les suites (U n (ω)) sont presque sûrement équiréparties. De plus, la loi du logarithme
itéré permet de montrer que
Pr
[
lim sup
√
2n
log(log(n)) D n(U) = 1
]
= 1.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance