Méthodes numériques en finance

7 VALORISATION EN TEMPS CONTINU 69
Si g(x) = x 2 , on écrirait alors Wt 2 =2 ∫ t
W 0 sdW s . Or ( ∫ t
W 0 sdW s ) t∈R + est une martingale,
donc si l’égalité précédante était vraie, (Wt 2 ) t∈R + serait également une martingale. Or une
martingale positive nulle en 0 est forcément nulle. Donc Wt 2 = 0.
En fait le calcul différentiel se fait de la façon suivante,
Définition 28. Soit (W t ) t∈R + un (F t ) t∈R +-mouvement brownien. Le processus (X t ) t∈R +
est un processus d’Ito s’il peut s’écrire
X t = x 0 +
∫ t
0
A s ds +
∫ t
0
B s dW s , pour t ∈ [0, T ],
où X 0 = x 0 presque sûrement, (A t ) t∈[0,T ] et (B t ) t∈[0,T ] sont des processus (F t ) t∈R +-adaptés
tels que
∫ T
0
|A s |ds < ∞ et
∫ T
On notera parfois simplement dX t = A t dt + B t dW t .
0
|B s | 2 ds < ∞.
Théorème 29. Soit (X t ) t∈R + un (F t ) t∈R +-processus d’Ito, et f : R → R une fonction
deux fois continûment derivable, alors pour t ∈ [0, T ],
f(X t ) = f(x 0 ) +
où < X, X > s =
∫ s
0
∫ t
∫ t
0
B 2 t dt, et où
0
f ′ (X s )dX s + 1 2
f ′ (X s )dX s =
∫ t
0
∫ t
0
f ′ (A s )K s ds +
f ′′ (X s )d < X, X > s , pour t ∈ [0, T ],
∫ t
0
f ′ (X s )B s dW s .
Théorème 30. Soit (X t ) t∈R + un (F t ) t∈R +-processus d’Ito, et f : [0, T ] × R → R une
fonction deux fois continûment derivable en x et dérivable en t, alors pour t ∈ [0, T ],
∫ t
f(t, X t ) = f(0, x 0 ) +
0
∫
∂f(s, X s ) t
ds +
∂t
0
∂f(s, X s )
dX s + 1 ∫ t
∂ 2 f(s, X s )
∂x 2 0 ∂x 2 d < X, X > s .
La résolution dans le cas du modèle de Black & Scholes (1973) se fait en posant
Y t = log(S t ). (S t ) t∈R étant un processus d’Ito, on applique (formellement) la formule d’Ito
à f(x) = log(x), et donc
log(S t ) = log(S 0 ) +
Cette dernière équation se réécrit
Y t = Y 0 +
∫ t
0
∫ t
0
dS s
S s
+ 1 2
∫ t
0
− 1 S 2 s
σ 2 S 2 s ds.
) (µ − σ2
dt+ ∈ t 0 σdW t ,
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Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance