Méthodes numériques en finance

3 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 24
3.9 Formule de Black & Scholes (1973) en présence de coûts
de transactions
Une démonstration pour obtenir l’équation de Black & Scholes est de constituer un
portefeuille de réplication, et par absence d’opportunité d’arbitrage, on en déduit le prix
de tout produit contingent.
Or créer un portefeuille contenant ∆ unité d’actif risqué peut avoir un coût. Leland
(1985) a proposé d’étendre le modèle de Black & Scholes s’il y a des coûts de
transaction.
3.10 Le calcul des grecques dans le modèle de Black & Scholes
(1973)
Si C désigne le prix d’un call européen, rappelons que
C = SΦ (d 1 ) − K exp (−rT ) Φ (d 2 )
dans le modèle de Black & Scholes (option sur action), avec
d 1 = log (S/K) + (r + σ2 /2) T
σ √ T
Pour les calculs rappelons que
3.11 Le Delta
et d 2 = log (S/K) + (r − σ2 /2) T
σ √ T
d 2 2 = d 2 1 − 2 log (S exp (rT ) /K) et φ (d 2 ) = φ (d 1 )
S exp (rT )
.
K
= d 1 − σ √ T .
Le Delta étant la sensibilité du prix d’un call à une petite variation du prix du sous-jacent,
on en déduit
∆ = ∂C
∂S = Φ (d 1) + S ∂Φ (d 1)
− K exp (−rT ) ∂Φ (d 2)
∂S
∂S
= Φ (d 1 ) + S ∂Φ (d 1) ∂d 1
∂d 1 ∂S − K exp (−rT ) ∂Φ (d 2) ∂d 2
∂d 2 ∂S
= Φ (d 1 ) + Sφ (d 1 ) ∂d 1
∂S − Kφ (d 1)
= Φ (d 1 ) + 0 > 0,
en utilisant le fait que
∂d 2
∂S = ∂d 1
∂S
Aussi, pour un call et un put respectivement,
S exp (rT )
K
∆(C) = Φ (d 1 ) > 0 et ∆(P ) = Φ (d 1 ) − 1 < 0.
Le rôle du delta a été évoqué précédemment, le portefeuille sans risque de Black
& Scholes (1973) est consitué d’une vente d’une option, et de l’achat de ∆ actions:
“Black & Scholes évoluent les options en position delta-neutre, et une telle position doit
être rémunérée au taux sans risque”.
∂d 2
∂S
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance