Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 62
6.19 Arbre binomial et calcul des grecques: Vega
Le calcul du Vega se fait en augmentant la volatilité de 1%, et en construisant un autre
arbre. Aussi, 9.38513 pour n = 5, avec σ = 40%, et 9.583413 pour σ = 41%. Aussi, le
vega est la différence entre ces deux prix, i.e. V ∼ 0.1982842.
On notera que théoriquement, la valeur du véga est 0.1895058.
6.20 Arbres pour options “path-dependent”
Les options considérées étaient des options européennes, ne faisant intervenir, dans la
formule du payoff que la valeur à échéance du sous-jacent. Mais dans certains cas, il
convient de connaitre la valeur du sous-jacent à toute date entre 0 et T , en particulier
quand on s’intéresse à
• la moyenne 1 T
∫ T
0
S t dt,
• un extrema max{S t , t ∈ [0, T ]} ou min{S t , t ∈ [0, T ]},
• au franchissement d’une barrière au cours de la période [0, T ].
6.21 Utilisation (directe) pour les options à barrière
Plaçons nous sur l’arbre considéré dans la section précédante, et supposons qu’il existe
une barrière à 80, dans le cas d’un call “up and out”, c’est à dire qui verse (S T − K) + à
échéance, à condition que S t ≤ B pour tout t ∈ [0, T ].
En fait, deux “barrière” seront alors considérés, une première appelée frontière modifiée,
située juste en dessous, et une frontière effective, située juste au dessus (Figure
35). La frontière modifiée passe par les noeuds strictement au dessus de la barrière, et la
barrière modifiée par les noeuds strictement en dessous.
On fait alors la valorisation de l’option, comme dans le cas sans barrière, en notant
que le prix de l’option est nul dès lors que le cours du sous-jacent a franchi la barrière.
On notera sur la Figure 36 que le prix converge relativement lentement. En particulier,
un certain nombre de sauts ralentissent la convergence. Une solution est alors d’utiliser
des arbres adaptatifs, dont le branchage est de plus en plus dense, au fur et à mesure
qu’on se rapproche de la barrière.
6.22 Les arbres adaptatifs
Figkewski & Gao (1999) ont proposé d’utiliser des arbres adaptatifs afin d’améliorer
la convergence des arbres binomiaux. On notera que ces méthodes sont aussi beaucoup
utilisée pour la valorisation d’options américaines.
L’idée est de rajouter à un maillage un peu grossier un second maillage beaucoup plus
fin, là où c’est nécessaire (par exemple près des barrières dans le cas d’options à barrières,
proche du strike pour des options all-or-nothing ou proche de la date d’exercice dans le
cas d’un call américain).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance