Méthodes numériques en finance

5 LES NOTIONS DE TAUX D’INTÉRÊT 37
• les modèles de reconstitution de la courbe des taux au comptant (également sur la
courbe des taux zéro-coupon),
- les modèles stochastiques de la courbe des taux (sur la courbe des taux zéro-coupon
ou des taux forwards instantanés).
5.1 Valorisation et processus en temps continu
Si les taux sont déterministes, par absence d’opportunité d’arbitrage, on obtient que
soit, puisque B(T, T ) = 1,
B(t, T ) = exp
En particulier, on en déduit que
dB(t, T
B(t, T ) = r tdt, (2)
( ∫ T
)
(
− r s ds = B(0, T ) = exp −
t
R(t, τ) = 1 τ
∫ t+τ
t
r s ds.
∫ t
0
)
r s ds .
Des arguments d’absence d’opportunité d’arbitrage permettent de valoriser le prix des
zéro-coupon B(t, T ).
On suppose que pour toutes les maturités T , le prix des zéro-coupon suivent des
processus d’Ito ....
dB(t, T
B(t, T ) = r tdt+ < Γ(t, T ), dW t + λ t dt >, (3)
où (W t ) t≥0 est un mouvement Brownien, et (λ t ) t≥0 une prime de risque.
Proposition 12. Si les primes de risque et les volatilités sont bornées, il existe une
probabilité risque neutre Q, équivalente à P, telle que le prix des zéro-coupons vérifient
( ∫ T
)∣ ) ∣∣∣
B(t, T ) = E Q
(exp − r s ds F t .
t
5.2 Les méthodes d’analyse en composantes principales
Cette méthode permet de mettre en évidence les principaux facteurs qui expliquent les
déformations de la courbe des taux. Il peut s’agir d’une étape préalable, avant la recherche
d’un modèle stochastique réaliste. Cette méthode peut aussi être utile pour se couvrir
contre le risque de taux (en cherchant des produits permettant de se couvrir contre les
principaux facteurs de déformation de la courbe des taux).
Les trois facteurs de déformation expliquant 95% des déformation de la courbe des
taux. L’idée de Nelson & Siegel (1987) est d’écrire les taux zéro-coupon comme une
fonction dépendant de 3 paramètres. En particulier, Nelson & Siegel (1987) proposent
où
ρ(0, t) = β 0 + β 1
( 1 − exp(−t/τ)
t/τ
)
+ β 2
( 1 − exp(−t/τ)
t/τ
)
− exp(−t/τ) ,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance