Méthodes numériques en finance

3 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 23
3.6 D’où vient cette volatilité implicite
L’existe de ce smile de volatilité est en contradiction avec le modèle de Black & Scholes
(1973).
Parmi les interprétations, une première (économique) est basée sur le fait qu’il existe
une asymétrie entre l’offre et la demande sur les marchés d’options.
La seconde interprétation est que supposer un processus de type Brownien géométrique
pour le prix des actions est irréaliste.
3.7 Petit complément, le versement de dividendes
Les anticipations sur le versement de dividendes peuvent être modélisés. Il ocnvient de
distinguer
• le cas où les dividendes sont un pourcentage du cours du titre aux dates de tombée
des dividendes,
• le cas où les dividendes sont un certain capital, vus alors que des flux futurs
(éventuellement certains).
Dans le premier cas, on modélise le taux (instantané) de dividende.
Considérons le cas d’un titre, versant des dividendes −D 1 ,..., −D N−1 aux dates T 1 ,...,
T N−1 , entre 0 et t. Le prix en t = 0 est la somme actualisée des flux futurs, i.e.
(
∑ N
S 0 = E D i exp
i=1
(
−
∫ Ti
0
)
r s ds + S t exp
(
−
∫ t
0
r s ds) ) .
3.8 Formule de Black & Scholes (1973) en présence de dividendes
Dans le cas d’versement continu de dividendes, soit q le taux de dividende, tel que le
détenteur du titre touche qS t dt pendant l’intervalle dt. La dynamique du prix s’écrit alors
dS t
S t
= (µ − q)dt + σdW t ,
ce qui donne simplement les formules (fermées) des prix des call et des put européens:
pour un call
C = Se −qT Φ( ˜d 1 ) − Ke −rT Φ( ˜d 2 ),
où Φ est la fonction de répartition de la loi N (0, 1), et
˜d 1 = 1 ( ( ) S
σ √ log +
T K
avec ˜d 2 = ˜d 1 − σ √ T . Dans le cas d’un put
(r−q + σ2
2
P = Ke −rT Φ(− ˜d 2 ) − Se −qT Φ(− ˜d 1 ).
) )
T ,
Dans le cas où les paramètres r, q ou σ 2 ne sont plus constantes, mais dépendantes
du temps (mais pas pour autant stochastique), notons qu’il suffit de remplacer les valeurs
constantes pour leur moyenne sur l’intervalle [0, T ],
r → 1 T
∫ T
0
r(u)du, q → 1 T
∫ T
0
q(u)du et σ 2 → 1 T
∫ T
0
σ 2 (u)du.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance