Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 193
où
• (F t ) t∈[0,T ] est la filtration naturelle,
• Q est une probabilité risque neutre, sous laquelle la valeur actualisée de l’actif est
une martingale, i.e. E Q (S t+h |F t ) = S t .
On notera que sous la probabilité risque neutre Q, la valeur actualisée d’un portefeuille
de couverture autofinancé est également une martingale.
Aussi, on peut construite la suite (V k ) de manière récurrente, qui peut s’écrire, en
notant (V ∗
k
) la suite des valeurs actualisée dans le cas d’un put bermudien,
{ V
∗
n = Zn ∗ = (K − S T ) +
Vk−1 ∗ = max { Zk−1 ∗ , E Q (Vk ∗|F
k−1) }
La suite (Vk ∗)
(correspondant aux valeurs actualisées de l’option aux dates 0 = t 0 <
t 1 < t 2 < ... < t n−1 < t n = T ) est alors l’enveloppe de Snell sous Q de la suite (Zk ∗ ), c’est
à dire la plus petite surmartingale majorant (Zk ∗).
Remarque 104. Si (S k ) k=0,...,n (ou S k = S tk ) est une chaîne de Markov, de matrice de
transition M, notons que E Q (V ∗
k |F k−1) peut s’écrire
E Q (V ∗
k |F k−1 ) = (M × V ∗
k )(S k−1 ).
14.3 La notion de temps d’arrêt optimal
L’option est exercée à un instant τ = t k , entre l’origine et la maturité. Notons que,
mathématiquement parlant, τ est un temps d’arrêt puisque la décision d’exercer ou non
l’option en t = t k se fera en fonction de la seule connaissance du cours de l’actif entre 0
et t (i.e. de la filtration F t à la date t).
D’après les résultats sur l’enveloppe de Snell, rappelons que pour tout k = 0, ..., n − 1,
Vk
∗ ≥ Z∗ ∗
k et, à maturité, Vn = Zn. ∗ On note τ le temps d’arrêt correspondant au premier
instant où Vτ
∗ = Zτ ∗ . On en déduit que pour tout t k < τ, Vk
∗ > Z∗ k , et donc la propriété
de martingale
Vk−1 ∗ = E Q (Vk ∗ |F k−1 )
est vérifiée. Aussi, le prix de l’option, en t = 0, est donné par
V ∗
0 = E Q (V ∗
τ |F 0 ).
Soit T i,j l’ensemble des temps d’arrêt à valeurs dans {t i , ..., t j }. Rappelons qu’un temps
d’arrêt τ ∗ est optimal s’il est tel que
U ∗ 0 = U ∗ τ ∗ = sup
τ∈T 0,n
{E Q (Z ∗ τ |F 0 )}.
Remarque 105. De manière générale, si on souhaite connaître le prix de l’option à un
instant t k , on considère alors
sup
τ∈T k,n
{E Q (Z ∗ τ |F n )}.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance