Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 165
par des méthodes classques de Monte Carlo, l’idée est de simuler une autre variable
aléatoire (Z) telle que P (φ(Z) > 0) ne soit plus proche de 0, mais éventuellement proche
de 1/2. On va ainsi simuler une loi Z ∼ N (µ, 1) où µ vérifie
soit
S 0 exp
m = 1
σ √ T
La valeur de l’option sera alors
E
[
σ √ T x +
(
f(Z) exp
(r − σ2
2
(
log K S 0
−
)
T
]
= K,
) )
(r − σ2
T .
2
(−mZ + m2
Cette technique est appelée “importance sampling”.
2
))
.
Importance sampling pour le prix d’un call européen
Importance sampling pour le prix d’un call européen
Ecart−type du prix d’un call européen
0 5 10 15
Ecart−type du prix d’un call européen
0 5 10 15
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Valeur du drift
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Valeur du drift
Figure 113: Importance sampling, volatilité de l’estimateur en fonction de la valeur du
drift, avec différentes volatilité, ou différents strikes.
12.2 Les méthodes de stratification
Le plus simple est de présenter un exemple simple. Considérons un vecteur aléatoire
gaussien X de dimension d, avec X ∼ N (0, I). Le vecteur X peut se réécrire
X = (s ′ X)s + Y ,
où s est un vecteur unitaire de R d et Y = X − (s ′ X)s est un vecteur gaussien centré, de
matrice de variance-covariance Σ = I − P s où P s est la matrice de projection orthogonale
sur s. s étant un vecteur unitaire, notons que s ′ X est une variable N (0, 1).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance