Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 129
Méthode déterministe de calcul d’intégrale (n=5)
Méthode déterministe de calcul d’intégrale (n=20)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 69: Calcul d’intégrales, méthode déterministe.
Ce dernier exemple, basé sur la boule unité, peut se généraliser en terme de calcul
d’intégrales (simples ou multiples).
∫ Pour les textcolor blue intégrales simples, supposons que l’on cherche à calculer
h(u)du où h est une fonction suffisamment régulière. En reprenant la construction
[0,1]
de l’intégrale de Rieman, une première idée est d’approcher la fonction par des fonctions
en escalier. Aussi,
∫
n∑
( )
1 j
h(u)du ∼
n × h n
[0,1]
j=1
où les termes de la somme sont les aires des petits rectangles élémentaires, de largeur 1/n
(on partitionne 0, 1 en n points), et de taille la valeur de la fonction à droite, i.e. h(j/n)
pour le jème rectangle.
∫
En dimension supérieure, on cherche à calculer un volume h(u)du. Là aussi,
[0,1] d
si n = k d , on subdivisionne chacun des côtés du carré unité, et on considère comme
approximation
∫
[0,1] d h(u)du ∼
∑
j 1 ,...,j d ∈{1,...,k}
( 1
k
) d (
j1
× h
k , ..., j )
d
.
k
L’erreur commise en approchant h par une fonction en escalier peut être quantifier
à l’aide de la formule de Taylor. Dans le cas qui nous intéresse, sur un petit intervalle
[(i − 1)/n, i/n], on note que l’on peut majorer l’erreur simplement,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance