Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 51
comme le montre Karatzas & Shreve (1988). Une étape clée de la preuve est de noter
que
ud = exp(2µ∆t) · (2 − exp(σ 2 ∆t)) ∼ e 2µ∆t · e −σ2 ∆t ,
et que
u
d = 1 + 2σ√ ∆t + σ 2 ∆t ∼ e 2σ√∆t .
En notant encore une fois m = [n + k]/2, on en déduit que
)
m log u + (n − k) log d ∼ n∆t
(µ − σ2
+ m∆x,
2
et donc, en utilisant un raisonnement analogue au cas de la marche aléatoire
) √ ( )
1 k 1 2
∼
2∆x(
n 2 n nπ exp − k2
2n
(
1
→ √
2πσ2 t exp − (log S − log S )
0 − [µ − σ 2 /2] · t) 2
.
2σ 2 t
6.10 La formule de Black & Scholes (1973)
Comme nous l’avons rappelé dans le Chapitre précédant, dans le cas du modèle de Black
& Scholes (1973), une formule analytique peut être obtenue pour valoriser les call.
Proposition 22. Le prix d’un call européen en t = 0, de maturité T , de strike K, dont
le prix de l’actif sous-jacent est de moyenne µ, de volatilité σ, avec un taux sans risque
de r,
Call(r, σ, T, K) = S 0 Φ(d 1 ) − Ke −rT Φ(d 2 ),
et dans le cas du put de mêmes paramètres
où
et d 2 = d 1 − σ √ T .
Put(r, σ, T, K) = Ke −rT Φ(−d 2 ) − S 0 Φ(−d 1 ),
d 1 = 1
σ √ T
( ( ) S
log +
K
) )
(r + σ2
T ,
2
6.11 Utiliser un autre arbre ?
Nous avons ainsi deux méthodes pour discrétiser l’arbre
{ √
u = exp(σ t)
• le cas u = 1/d, soit
d = exp(−σ √ et p = er T/h − d
t)
u − d
⎧
⎨ u = e
(1 rT/h − √ )
e σ2 T/h − 1
• le cas p = 1/2, soit
⎩ d = e
(1 rT/h + √ et p =
e σ2 T/h − 1) 1 2
La figure 27 montre les distributions en T pour différentes valeurs h. Ces deux choix
semblent très proches. En effet, notons que
u = 1 + σ √ t + rt + O(t 3/2 ) pour les deux modèles.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance