Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 54
Prix d’un call par arbre binomial
Prix d’un call par arbre binomial
PRIX.CALL[5:450]
6.45 6.50 6.55 6.60 6.65 6.70
0 100 200 300 400
PRIX.CALL[5:450]
6.566 6.568 6.570 6.572 6.574 6.576 6.578 6.580
0 100 200 300 400
5:450
5:450
Figure 28: Convergence du prix du call par arbre, en utilisant la moyenne pour n et n − 1
périodes.
Dans le cas où les sous-jacent sont corrélés Rubinstein (1994) a proposé un arbre
non-rectangulaire. A partir d’un noeud où les prix sont (S 1 , S 2 ), on suppose que 4 noeuds
peuvent être atteints, avec un arbre binomial pour le premier actif (qui peut atteindre les
valeurs u ou d), et 4 valeurs possibles pour le second actif A, B, C ou D,
(u, A) (u, B)
(d, C) (d, D)
Remarque 23. Notons que l’on parle aussi parfois d’arbre binomial à deux facteurs.
On suppose que les probabilités sont égales (1/4), et que A · D = B · C. A la date 1,
il y a 4 noeuds, qui passent à 9 à la date 2 (compte tenue de l’égalité A · D = B · C, on a
(t + 1) 2 noeuds à la date t, et non pas 2 t+1 ). Cette méthode est proche de la convention
où p = 1/2 dans les arbres binomiaux unidimensionnels.
On suppose que le logarithme des prix (log S 1 et log S 2 ) suit une marche aléatoire.
Dans le cas où ρ = 0, les valeurs possibles pour le logarithme des prix sont
(+1, +1) (+1, −1)
(−1, +1) (−1, −1)
ce qui donne une marche aléatoire centrée réduite, au sens où
E(log S i ) = 0, V ar(log S i ) = 1 pour i = 1, 2,
et cov(log S 1 , log S 2 ) = 0. Si l’on souhaite que les prix des actifs soient corrélés, les valeurs
possibles sont alors
(+1, ρ + √ 1 − ρ 2 ) (+1, ρ − √ 1 − ρ 2 )
(−1, −ρ + √ 1 − ρ 2 ) (−1, −ρ − √ 1 − ρ 2 )
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance