Méthodes numériques en finance

7 VALORISATION EN TEMPS CONTINU 68
• la méthode de Hull & White (1993)
Dans la méthode précédante, la discrétisation en A se faisait avec un pas de temps
quadratique en fonction du temps. On suppose ici qu’elle est linéaire. Au lieu de considérer
A n,k = S 0 exp(k∆S) = S 0 exp(kσ √ ∆t), on considère ici A n,k = S 0 exp(k∆t). Cette
méthode convergera alors beaucoup plus rapidement.
7 Valorisation en temps continu
7.1 Le modèle d’Harrison & Pliska (1981)
Le résultat fondamental de Harrison & Pliska (1981) est de montrer que s’il existe
une mesure de probabilité sous laquelle tous les processus de prix actualisés des titres sont
des martingales, alors, à partir de cette mesure, il est possible de constuire un ensemble
de prix contingents cohérents avec les prix de marché. Et réciproquement, s’il existe un
tel ensemble de prix, alors il en possible d’en déduire une mesure de probabilité sous
laquelle les processus de prix actualisés sont des martingales. Ce résultat établit une
correspondance entre ces deux notions, sans pour autant statuer sur l’existence d’une
telle mesure.
En fait, la condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe au moins un telle mesure
martingale est l’absence d’opportunité d’arbitrage.
7.2 Les évolutions des cours
On considère deux actifs en temps continu, une action risquée de prix S t à l’instant t, et
un actif sans risque de prix St 0 à l’instant t.
On suppose que l’évolution de St
0 est régie par l’équation différentielle
dS 0 t = rS 0 t dt, où r > 0.
r est le taux d’intérêt (instantané).
On suppose que l’évolution de S t est régie par l’équation différentielle stochastique
dS t = µS t dt + σS t dW t , où µ, σ > 0,
où (W t ) t∈R est un mouvement brownien standard. Cette équation se réécrit
S t = S 0 +
∫ t
7.3 Résolution et formule d’Ito
0
µS s ds +
∫ t
0
σS s dW s .
La formule d’Ito permet de différencier des applications t ↦→ g(W t ) où g est deux fois
continûment dérivable.
Exemple 27. Le calcul différentiel usuel ne marche pas ici.
dérivable et nulle en 0,
Rappelons que si g est
g(x) 2 = 2
∫ t
g(s)g ′ (s)ds = 2
∫ t
0
0
g(s)dg(s).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance