MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 94 L’idée naturelle est alors d’approcher f ′ (x) au point x n par f ′ (x n ) ∼ f(x n+1) − f(x n ) x n+1 − x n . On parlera de schéma d’euler explicite si l’on considère le schéma numérique suivant f(x n+1 ) − f(x n ) x n+1 − x n = g(f(x n ), x n ), ou u n+1 − u n x n+1 − x n = g(u n , x n ) où u n = f(x n ), et de schéma d’euler implicite si f(x n+1 ) − f(x n ) x n+1 − x n = g(f(x n+1 ), x n+1 ), ou u n+1 − u n x n+1 − x n = g(u n+1 , x n+1 ) où u n = f(x n ). En effet, ces deux équation s’écrivent alors respectivement u n+1 = u n + (x n+1 − x n ) × g(u n , x n pour le schéma explicite et u n+1 − (x n+1 − x n ) × g(u n+1 , x n+1 ) pour le schéma implicite. Afin de bien comprendre l’intérêt de ces deux schémas, considérons l’exemple suivant. Exemple 53. Considérons l’équation différentielle f ′ (x) = βf(x) où β > 0, avec comme condition initiale f(x) = f 0 . La solution explicite est connue, ici: f(x) = e −betax f 0 . Pour discrétiser, posons x n = nh avec h > 0. Dans le schéma explicite, u n+1 = (1 − βh)u n = ... = (1 − βh) n u 0 . Si u 0 ≠ 0, et si 1 − βh < −1, le schéma sera dit instable. Il faut alors imposer −1 ≥ 1 − βh, soit h ≤ 2/β. Aussi, le pas de discrétisation doit être suffisement petit, sinon le schéma explose. Dans le schéma implicite, ( ) 1 n (1 + βh)u n+1 = u n soit u n = u 0 . 1 + βh Dans ce cas, pour tout h, le schéma converge. D’autres méthodes sont également possibles. Rappelons juste la méthode de Runge-Kutta: en intégrant l’équation différentielle, il vient que f(x n+1 ) − f(x n ) = ∫ xn+1 x n g(f(t), t)dt. En utilisant par exemple la méthode des trapèzes pour calculer cette intégrale, il vient u n+1 − u n = 1 g(u n , x n ) + g(u n+1 , x n+1 ) . 2 x n+1 − x n Ce schéma correspond en fait à prendre la moyenne entre le schéma d’Euler explicite, et le schéma d’Euler implicite. Il est possible de montrer qu’il converge à l’ordre 2. De manière générale, en posant u = (u 1 , ..., u n ) = (f(x 1 ), ..., f(x n )), il est possible d’écrire le système d’équations (linéaires) obtenues par la discrétisation sous la forme matricelle Au = b. On peut alors utiliser les méthodes vues auparavant. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 95 Résolution d’équation différentielle, Euler, h=0.05 Résolution d’équation différentielle, Euler, h=0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Résolution d’équation différentielle, Euler, h=0.25 Résolution d’équation différentielle, Euler, h=0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Figure 46: Equation différentielle ordinaire, β = 5, schéma explicite. Résolution d’équation différentielle, Euler, h=0.05 Résolution d’équation différentielle, Euler, h=0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Résolution d’équation différentielle, Euler, h=0.25 Résolution d’équation différentielle, Euler, h=0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Figure 47: Equation différentielle ordinaire, β = 5, schéma implicite. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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