Méthodes numériques en finance

9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 86
Retenons toutefois ici qu’un cas simple est obtenu lorsque A est triangulaire.
L’idée de la décomposition LU est alors simple, et repose sur le résultat suivant
Proposition 42. Si A est une matrice n × n dont toutes les sous-matrices principales sont
inversibles, alors il existe une unique décomposition A = LU où L est une matrice triangulaire
inférieure et U une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale.
En fait U correspond à la matrice de l’élimination de Gauss. Notons de plus que le nombre
d’opération est ici en n 3 .
Une autre méthode peut être non pas de calculer la vraie valeur de x mais simplement de
s’en approcher. Les méthodes itératives de Jacobi et de Gauss-Seidel sont intéressantes. Il s’agit
de construire une suite de vecteurs x k qui converge vers x.
L’idée sous-jacente est d’écrire A comme la différence de deux matrice A = K − M, où K
est inversible (et d’inverse facile à caculer). Alors Ax = b s’écrit
Kx = Mx + b soit x = K −1 Mx + K −1 b.
Aussi, très naturelle, on se donne x 0 , et de manière récursive on pose
x k+1 = K −1 Mx k + K −1 b
La matrice K proposée par Jacobi est simplement la matrice diagonale constituée des éléments
diagonaux de A, et donc
K −1 = diag(a −1
11 , a−1 22 , ..., a−1 nn),
ce qui donne l’algorithme itératif
⎛
⎞
x k+1
i
= 1 ⎝ ∑ a ij x k j + b i
⎠ pour i = 1, ..., n.
a ii
j≠i
La matrice K proposée par Gauss-Sigel est la matrice triangulaire inférieure constituée des
éléments de A. L’algorithme devient alors
⎛
⎞
x k+1
i
= 1 ⎝ ∑ a ij x k+1
j
+ ∑ a ij x k j + b i
⎠ pour i = 1, ..., n.
a ii
ji
Ces algorithmes marchent relativement bien, en général.
Proposition 43. Cette méthode converge (pour tout b et tout x 0 ) si et seulement si le rayon
spectral de K −1 M (ρ = max{|λ i |} où les (λ i ) sont les valeurs propres) est strictement inférieur
à 1.
En particulier, si A est symmétrique définie positive, alors la méthode de Gauss-Siegel est
convergente.
Pour l’instant, l’idée était d’écrire A sous la forme D − U − L où D est la diagonale, −U la
matrice triangulaire srictement supérieure et −L la matrice triangulaire srictement inférieure.
La méthode de Jacobi était de poser A = [D] − [U + L], alors que Gauss-Siegel proposait
d’écrire A = [D − L] − [U].
Une méthode encore plus générale consiste à continuer sur cette écriture, et d’écrire
A =
[ 1
ω D − L ]
−
[ 1 − ω
ω D + U ]
= K − M,
de telle sorte que K −1 = ω −1 D − L. On parlera alors de méthode de relaxation.
Parmi les résultats intéressants, on a le suivant
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance