Méthodes numériques en finance

3 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 21
Le prix théorique d’une option d’achat (call) à la date t = 0, qui donne le droit mais
pas l’obligation d’acheter l’actif S à la valeur K à la date T , est caractérisé par son payoff
max{S T − K, 0} = (S T − K) + . Le prix d’un call européen est donné par la formule de
Black & Scholes,
C = SΦ(d 1 ) − Ke −rT Φ(d 2 ),
où Φ est la fonction de répartition de la loi N (0, 1), i.e.
∫ x
(
1 −t
2
Φ(x) = √ exp
−∞ 2π 2
et
d 1 = 1 ( ( ) S
σ √ log +
T K
)
dt,
) )
(r + σ2
T ,
2
avec d 2 = d 1 − σ √ T .
Pour le prix théorique d’un put, la relation de parité donne aisément
P = Ke −rT Φ(−d 2 ) − SΦ(−d 1 ).
Fomule de Black & Scholes
d1 = (log(s/k)+ (r+0.5*sigmaˆ2)*T)/(sigma*sqrt(T))
d2 = d1-sigma*sqrt(T)
call = s*pnorm(d1)-K*exp(-r*T)*pnorm(d2)
put = K*exp(-r*T)*(1-pnorm(d2))-s*(1-pnorm(d1))
data.frame(call,put)
3.5 La notion de volatilité implicite
Le prix d’une option dépend de paramètres connus
• S 0 ou S la valeur actuelle de l’action sous-jacente
• T le temps qui reste à l’option avant son échéance
• K le prix d’exercice fixé par l’option, ou le strike
et de deux autres paramètres.
• r le taux d’intérêt sans risque
est supposé connu, ou obtenable sur les marchés de taux.
• σ 2 la volatilité du prix de l’action
La volatilité du sous-jacent est supposé estimable (cf plus loin).
En fait la volatilité va être, en pratique, un paramètre problématique. En particulier,
supposer des taux constants dans le temps, ou une volatilité constante semble peu réaliste.
Dans le modèle de Black & Scholes (1973), notons que le prix s’écrit
C = BS(S 0 , T, K, r, σ).
En pratique, pour différentes maturités T , ou différents strike K, il est possible de trouver
des prix, sur le marché, de telles options.
Le principe de la volatilité historique revient à inverser cette équation, en notant que
ˆσ = BS −1 (S 0 , T, K, r, Ĉ(T, K)).
On parle alors de surface de volatilité implicite.
En dimension 1, à maturité donnée, la volatilité implicite peut s’exprimer en fonction
du strike K, et la courbe obtenue est en forme de smile. A la monnaie, la volatilité
implicite est la plus basse et plus on s’éloigne de la monnaie, plus elle est élevée.
La pente de la volatilité implicite en fonction du strike est appelée la skew.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance