Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 137
L’idée est d’utiliser la décomposition en base p d’un entier: soit k un entier et α 0 , α 1 ,...
α r sa composition p-addique, i.e.
k = α 0 + α 1 p + ... + α r p r où 0 ≤ α i < p pour tout i = 0, 1, ..., r. (25)
La suite de Van der Corput en base p est la suite définie par
Exemple 78. En base 2, on a
u n = α 0
p + ... + α r
p r+1 .
• k = 1, qui s’écrit 1 en base 2, et u 1 = 1 2 ,
• k = 2, qui s’écrit 10, et u 2 = 1 2 2 + 0 2 = 1 4 ,
• k = 3, qui s’écrit 11, et u 3 = 1 2 2 + 1 2 = 3 4 ,
• k = 4, qui s’écrit 100, et u 4 = 1 2 3 + 0 2 2 + 0 2 2 = 1 8 ,
• k = 19, qui s’écrit 10011, et u 1 9 = 1 2 5 + 0 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 = 25
32 ,
La suite de Halton est obtenue en dimension 2 en prenant pour la première composante
la suite de Van der Corput de base 2, et de base 3 pour la seconde. Plus générament,
en dimension d, on prend comme bases respectives les d premiers nombres premiers
(2, 3, 5, 7, 11, ....)
Remarque 79. Ces suites ne sont pas aléatoires, mais purement déterministes: on ne
peut invoquer de théorème central limite pour avoir un intervalle de confiance.
A propos des méthodes de quasi-monte carlo, Zaremba (1968) notait fort justement
“the proper justification of normal practice of Monte Carlo integration must not be based
on the randomness of the procedure, which is spurious, but on the equidispersion properties
of the sets of points at which the integrand values are computed”.
11.2 Méthodes de simulation en finance ?
Les méthodes de Monte Carlo sont relativement intéressantes car elles permettent de
modéliser, a priori, des produits relativement complexes. De manière générale, rappelons
que le prix d’une option de maturité T , à la date 0 s’écrit
( ) g(ST )
V 0 = B 0 E ,
B T
où (B t ) est le facteur d’actualisation, ou le numéraire. En particulier, il est possible
d’étendre le modèle de Black & Scholes (1973) (où r est un taux constant) à un taux
stochastique (LIBOR par exemple).
La base des techniques de simulation est la loi forte des grands nombres, afin d’estimer
une espérance. Si X 1 , ..., X n sont des réalisations indépendantes,
1
n∑
p.s.
X i → E(X),
n
i=1
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance