Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 204
Ici, l’écriture matricielle des équations discrétisées se fait sous la forme suivante
[I + M/2 + Π(g j+1 )]g j+1 = [I − M/2]g j + [Π(g j+1 )]g ∗ ,
où Π(g j+1 ) est une matrice diagonale qui vaut
Π(g j+1 ) = diag(M × 1(g i,j+1 ) < g ∗ i ).
On obtient ainsi une équation nonlinéaire. Elle se résoud de manière récursive où on
utilise l’estimation de Π(g j+1 ) à l’étape k pour en déduire une valeur de g j+1 à l’étape
k + 1.
A partir d’un g 0 j+1, on résoud, pour k ≥ 1
[I + M/2 + Π(g k j+1)]g k+1
j+1
= [I − M/2]gk+1 j + [Π(g k j+1)]g ∗ .
Comme l’a montré Forsyth & Vertzal (2002) cet algorithme converge vers une solution
du système d’équations suivantes
1
2 ([Ag] i,j+1 + [Ag] i,j ) − g i,j+1 − g i,j
∆t
et (g − g ∗ ) i,j+1 ≥ − κ M ,
où κ est une constante indépendante de ∆t et h.
Numériquement, la difficulté est de choisir pertinament M: si M est très grand, la
précision sera d’autant meilleure, mais l’algorithme sera lent à converger. Forsyth &
Vertzal (2002) suggère de prendre pour M l’inverse de la précision que l’on souhaite
sur le calcul, car
gi ∗ − g i,j+1
∣ gi
∗ ∣ ∼ 1 M dans la région d’exercice, i.e. g i∗ ̸= 0.
≤ 0,
14.15 Une solution analytique dans le cas du put américain
En utilisant le principe de Duhamel sur les équations aux dérivées partielles (Zauderer
(1989)), on peut montrer que
∫ K
P (S, t) = e −rt (X − S T )ψ(S T , S)dS T
+
0
∫ t
0
∫ S ∗
e −rs t−s
rKψ(S s , S)dS s ds,
où la probabilité de transition ψ(S T , S t ) (de passer de S t à la date t à S s à S T à la date t)
peut être calculée explicitement. Notons toutefois que cette formule nécessite de connaître
le prix du sous-jacent sur la frontière d’exercice, S ∗ t .
0
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance