Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 98
localisation (x)
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10
temps (t)
Figure 48: Maillage et résolution numérique.
10.3 Notions de stabilité et de convergence
De façon générale, on note M un opérateur différentiel (linéaire), d’ordre 1 en t, et on cherche
une solution u au problème Mu(t, x) = f(t, x) sur (0, ∞) × Ω où Ω est un ouvert de R, avec la
condition initiale u(x, 0) = φ(x) pour tout x ∈ Ω.
En replaçant les opérateurs différentiels par des différences finies, on obtient un opérateur
discret M h,∆t .
Définition 55. Un schéma est explicite si u i,j+1 peut s’écrire comme combinaison linéaire des
u(x k , t j ), f(x k , t j−1 ), ... pour tout k. Le schéma est implicite si d’autres valeurs sont nécessaires.
Définition 56. Le schéma sera dit à 1 pas de temps s’il utilise les valeurs à deux dates, uniquement
(e.g. en t i et t i+1 ), et sinon il sera à pas multiples.
Définition 57. Soit u(t, x) la solution de l’équation aux dérivées partielles, et (u i,j ) un solution
associée au schéma discrétisé. On dira que le schéma est convergent si u i,j → u(x, t) quand
(x i , t j ) → (x, t) lorsque h, ∆t → 0.
La convergence signifie que la solution numérique du schéma tend vers la solution de
l’équation aux dérivées partielles.
Définition 58. Un schéma de discrétisation M h,∆t d’un opérateur L est consistant si pour toute
fonction φ infiniment dérivable, en tout point (x, t) du maillage,
lim (Mφ − M h,∆tφ) = 0.
h,∆t→0
En particulier, une solution régulière sur la version discrétisée converge vers la solution de
l’équation aux dérivées partielles. Mais la réciproque n’est pas forcément vraie. La consistance
est alors une condition nécessaire de convergence, mais pas suffisante.
Enfin, pour un schéma M h,∆t u = 0 associé à l’équation Mu = 0, on dira qu’il est stable s’il
existe .....
On a alors le résultat d’équivalence de Lax-Richtmyer,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance