Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 126
Les sauts empêchent toute couverture parfaite impossible.
Zhang (1997) puis Andersen & Andreasen (2000), et Cont & Voltchkova
(2003) ont proposé une méthode de calcul basé sur des différences finies. L’équation 23
devient, dans un schéma implicite
g i,j+1 − g i,j
∆t
+ [Ag] i,j+1 +
[
λ
∫ ∞
0
]
g(xz)f η (z)dz = 0.
i,j
Le terme [Ag] est certes différent du cas sans sauts, mais il reste facilement discétisable.
La principale difficulté est dans l’évaluation du troisième terme.
Faisons le changement de variable y = log x, et notons g ∗ = g(exp(·)) et f η∗ (·) =
f η (exp(·)) exp(·), de telle sorte que
∫ ∞
0
g(xz)f η (z)dz =
∫ ∞
−∞
g ∗ (y + s)f η∗ (s)ds = I(y).
Cette dernière intégrale se calcule alors simplement par interpolation (e.g. par des
trapèzes),
I(y i ) ∼
k/2
∑
j=−k/2+1
[g ∗ ] i+j [f η∗ ] j ∆y.
En poursuivant un peu les calculs, on peut montrer que l’on se ramène à un système
matriciel de la forme suivante
(I + ∆tA−λ∆tB)g j+1 = g j , (24)
où A est la discréation de A, et B de l’intégrale. Mais si A est une matrice relativement
creuse (elle est généralement composée de la diagonale et des deux premières surdiagonale),
alors que B est beaucoup plus dense.
Une solution a priori simpliste consiste à supposer que
de telle sorte que (24) peut se réécrire
λ∆tB)g j+1 ∼ λ∆tB)g j ,
(I + ∆tA)g j+1 = g j +[λ∆tB]g j .
La matrice de gauche est alors suffisement creuse pour que les calculs ne soient pas
trop complexes.
Aussi surprenant que cela paraisse d’Halluin, Forsyth & Vetzal (2005) ont
montré que ce schéma convergeait (sous des conditions pas trop fortes) vers la bonne
valeur.
Pour le schéma de Crank Nicolson, le système matriciel devient
(
I + ∆t
2 A − λ∆t
2 B )
g j+1 =
(
I − ∆t
2 A + λ∆t
2 B )
g j .
Au lieu de faire des calculs et des inversions de matrices relativement denses, des
méthodes de type itératives peuvent être intéressantes ici.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance