Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 195
Aussi, on peut définir la région d’exercice, noté E comme
ou son complémentaire
E = {(s, t)R × [0, T ], h(t, S t ) = g(t, S t )},
C = {(s, t)R × [0, T ], h(t, S t ) > g(t, S t )}.
Notons que τ ∗ = min{t ∈ [0, T ], (S t , t) ∈ E}. Il suffit alors de représenter cette
région, et d’exercer l’option dès que le sous-jacent appartient à la région d’exercice E. La
principale difficulté est qu’il est souvent délicat de décrire E.
Prix put européen vs. américain
Prix put européen vs. américain
0 20 40 60
0 20 40 60
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Temps avant maturité
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Temps avant maturité
Différence entre les options américaines et payoff
Différence entre les options américaines et payoff
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Figure 137: Comparaison des prix des puts européens et américains, en fonction de
l’évolution du prix du sous-jacent.
On note r le taux sans risque, et b le coût de portage
14.6 Méthode d’approximation de Bjerskund et Stensland
Le prix d’un call s’écrit
C (K, S, T, r, b, σ) = αS β − αφ (S, T, β, I, I) + φ (S, T, 1, I, I)
−φ (S, T, 1, K, I) − Kφ (S, T, 0, I, I) + Kφ (S, T, 0, K, I)
où
β =
( 1
2 − b )
√ ( b
+
σ 2 σ − 1 2
+ 2
2) r
2 σ 2
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance