Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 59
et pour le prix de l’action
d(log S t ) =
en supposant les deux browniens non-corrélés.
( )
r − σ2 S
dt + ρσ S dWt r + √ 1 − ρ
2
2 σ S dWt s ,
6.16 Arbre binomial et calcul des grecques: Delta
Le Delta se calcule sous la forme
∆ n =
Notons que le Delta théorique vaut ici
15.27 − 4.05
59.79 − 41.81 = 11.22
17.98 ∼ 0.624
∆ = ∂C
∂S = Φ (d 1)
Remarque 26. Notons qu’en prenant d’autres noeuds de l’arbre, on aurait trouvé
24.08 − 7.33
71.5 − 50
= 16.75
21.5
∼ 0.779 ou
7.33 − 1.07
50 − 34.96 = 6.26
15.04 ∼ 0.416.
La Figure 32 montre le calcul du ∆, avec à gauche l’évolution de ∆ n en fonction de
n en utilisant la première méthode proposée. La figure de droite est basée sur la seconde
méthode, présentée dans la Remarque précédante. Le trait en haut est basé sur l’arbre
après une montée (u), et le trait en bas l’arbre obtenu après une première descente (d).
La moyenne de ces deux valeurs est aussi présentée. Ces deux calculs seront d’ailleurs
utilisés à l’étape suivante, pour le calcul du Γ.
6.17 Arbre binomial et calcul des grecques: Gamma
Le Gamma se calcule sous la forme
Γ = ∆ 1 − ∆ 2
71.50 − 34.96
=
0.779 − 0.416
36.54
= 0.00993 ∼ 0.01.
où
∆ 1 =
24.08 − 7.33
71.5 − 50
et ∆ 2 =
7.33 − 1.07
50 − 34.96 .
La aussi, dans le cas du modèle de Black & Scholes (1973), la formule fermée
permet d’obtenir la vraie valeur du Gamma.
6.18 Arbre binomial et calcul des grecques: Theta
Θ =
7.33 − 9.38
1/5
∼ 10.25(par année),
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