Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 191
Base de Haar,n=1
Base de Haar,n=3
Base de Haar,n=5
Base de Haar,n=7
−2 −1 0 1 2
−2 −1 0 1 2
−2 −1 0 1 2
−2 −1 0 1 2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Base de Haar,n=2
Base de Haar,n=4
Base de Haar,n=6
Base de Haar,n=8
−2 −1 0 1 2
−2 −1 0 1 2
−2 −1 0 1 2
−2 −1 0 1 2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 135: Base H n (·) de décomposition du Pont Brownien (base de Haar).
où Z 0 , Z 1 , ... sont des variables N (0, 1) indépendantes.
Cet algorithme peut s’écrire de manière plus simple en posant
⎧
⎨ t sur [0, 1/2[
F 1,1 (t) = 1 − t sur ]1/2, 1[
⎩
0 sinon,
puis F k,j (t) = 2 −(k−1)/2 × F 1,1 (2 k−1 t − j + 1) pour k ≥ 1 et 1 ≤ j ≤ 2 k−1 .
On note que le Pont Brownien sur [0, 1] peut être représenté sous la forme
Π t L =
∞∑
k=1
2∑
k −1
j=1
F k,j (t)Z k,j ,
où Z 1,1 , ..., Z i,j , ... sont des variables N (0, 1) indépendantes.
13 Quelques mots sur d’autres méthodes
13.1 La Fast Fourier Transform
14 Options américaines
Dans le cas d’une option américaine, le détenteur de l’option peut l’exercer non plus
uniquement à la date T , mais à toute date entre 0 et T . Intervient alors une stratégie
d’exercice, caractérisée par un temps d’arrêt τ “optimal” d’exercice de l’option.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance